Équation cartésienne
Exercice 536. Vecteur normal et équation cartésienne
\\ Soient les points \[ A(3;0;0) \quad B(0;6;0) \quad C(0;0;4) \] Montrer que le vecteur $\vect{n}\begin{pmatrix}4\\2\\3\end{pmatrix}$ est normal au plan $(ABC)$. \\ En déduire une équation du plan $(ABC)$.Exercice 537. Plans parallèles
\\ Le plan $P$ d'équation $2x+6y+3z-9=0$ est-il parallèle au plan $P'$ d'équation $5x+15y-3z+7=0$ ?Exercice 538. Plans parallèles n°2
\\ Soient les points $A(2;-1;0)$, $B(1;0;-3)$ et $C(6;6;1)$. \\ Soit le plan $\mathcal{P}$ d'équation $2x-y-z+4=0$. \\- Montrer que le plan $\mathcal{P}$ est parallèle au plan $(ABC)$. \\
- En déduire une équation cartésienne du plan $(ABC)$.
Exercice 539. Equation cartésienne
\\ Soient les points $A(5;0;-1)$ et $B(1;4;-1)$. Soit $R$ le milieu de $[AB]$. Soit $\mathcal{P}$ le plan passant par $R$ et dont $\vect{AB}$ est un vecteur normal. \\- Déterminer une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$. \\
- Montrer que le point $E(10;9;8)$ appartient au plan $\mathcal{P}$.
Exercice 540. Trouver la droite d'intersection
\\ Soit $P_1$ le plan d'équation $x+y+z=0$ et $P_2$ le plan d'équation $x+4y+2=0$. \\ Montrer que les plans $P_1$ et $P_2$ sont sécants et déterminer la droite d'intersection.
Exercice
541. Soient $A(-2;0;2)$, $B(-1;3;0)$, $C(1;-1;2)$ et $D(0;0;3)$. \\
- Montrer que $\vect{n}\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}$ est normal au plan $(ABC)$. \\
- En déduire une équation cartésienne du plan $(ABC)$. \\
- Montrer que les points $A$, $B$, $C$, et $D$ ne sont pas coplanaires.
Exercice
542. Soit $A(-1;2;3)$ et $d$ la droite de représentation paramétrique $\begin{cases} x = 9+4t \\ y =6+t, \quad t \in \R \\ z = 2+2t \end{cases}$. \\
Donner une équation cartésienne du plan $P$ perpendiculaire à la droite $d$ passant par $A$.