Produit scalaire

Exercice 530. Soient les points \[A(2;-1;0) \quad B(3;-1;2) \quad C(0;4;1) \] Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.
Exercice 531. Soient les points \[ J(2;0;1) \quad K(1;2;1) \quad L(-2;-2;-2) \]
  1. Montrer que le triangle $JKL$ est rectangle en $J$. \\
  2. Calculer la valeur exacte de l'aire du triangle $JKL$. \\
  3. Déterminer une valeur approchée au dixième près de l'angle géométrique $\widehat{JKL}$.
Exercice 532. Soient les points $A(-3;1;3)$, $B(2;2;3)$, $C(1;7;-1)$ et $D(-4;6;-1)$. \\
  1. Montrer que le quadrilatère $ABCD$ est un rectangle. \\
  2. Calculer l'aire du rectangle $ABCD$.
Exercice 533. On considère les points $A(2;0;3)$, $B(0;2;1)$, $C(-1;-1;2)$ et $D(3;-3;-1)$. \\ Déterminer, à l'aide du produit scalaire $\scal{AB}{AC}$, une valeur du cosinus de l'angle $\widehat{BAC}$ puis donner une valeur approchée de la mesure de l'angle $\widehat{BAC}$ au dixième de degré.
Exercice 534. On considère le point $A(-1;1;3)$, la droite $d$ de vecteur directeur $\vect{u}\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}$ et le point $B(-1;3;0)$.\\ On admet que $A$ n'appartient pas à $d$ et que $B$ appartient à $d$. \\ On appelle $H$ le projeté orthogonal du point $A$ sur $d$. \\
  1. Justifier qu'il existe un réel $k$ tel que $\vect{HB} = k \vect{u}$. \\
  2. Montrer que $k = \Frac{\scal{AB}{u}}{\norm{\vect{u}}^2}$. \\
  3. Calculer la valeur du nombre réel $k$ et déterminer les coordonnées du point $H$.
Exercice 535. Soit deux points $A$ et $B$ dans l'espace et $I$ leur milieu. \\ Montrer que pour tout point $M$ quelconque, $\scal{MB}{MA} = MI^2-IA^2$. \\ En déduire l'ensemble des points $M$ de l'espace tels que $\scal{MB}{MA} = 0$.