Points, coordonnées, vecteurs et droites

Exercice 514. Coordonnées de points

\\ Soit $ABCDEFGH$ un cube d'arête de longueur $3$. \\ \\ On choisit le repère $(D;\vect{i},\vect{j},\vect{k})$ tel que \[ \vect{i} = \Frac{1}{3} \vect{DA}, \quad \vect{j} = \Frac{1}{3}\vect{DC}, \quad \vect{k} = \Frac{1}{3} \vect{DH} \] Donner les coordonnées des points $A$, $C$ et $E$.

Exercice 515. Coordonnées de points n°2

\\ Soit $ABCDEFGH$ le cube de d'arête $1$. \\ \\ L'espace est muni du repère $(A;\vect{AB},\vect{AD},\vect{AE})$. \\ Le point $I$ est le milieu du segment $[EF]$, $K$ le centre du carré $ADHE$ et $O$ le milieu du segment $[AG]$. \\ Donner sans justification, les coordonnées des points $A$, $B$, $G$, $I$ et $K$.

Exercice 516. Milieu d'un segment

\\ Soient $A(5;0;-1)$ et $B(1;4;-1)$. \\ Calculer les coordonnées de $I$ milieu du segment $[AB]$.

Exercice 517. Points non alignés

\\ Soient les points $A(2;0;3)$, $B(0;2;1)$ et $C(-1;-1;2)$. \\ Montrer que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.

Exercice 518. Points coplanaires

\\ Soient $A(3;-1;1)$, $B(4;-1;0)$, $C(0;3;2)$ et $D(4;3;-2)$. \\ Montrer que les points $A$, $B$, $C$ et $D$ sont coplanaires.

Exercice 519. Points non coplanaires

\\ Soient les points \[A(2;-1;0) \quad B(3;-1;2) \quad C(0;4;1) \quad S(0;-1;4) \] Montrer que les points $A$, $B$, $C$ et $S$ ne sont pas coplanaires.

Exercice 520. Nature d'un triangle

\\ Soient les points $A(2;-1;0)$, $B(1;0;-3)$ et $C(6;6;1)$. \\ Quelle est la nature du triangle $ABC$ ? En déduire son aire.

Exercice 521. Montrer que trois points définissent un plan

\\ Soient les points $P(0;0;1)$, $Q(0;2;3)$ et $R(1;0;3)$. \\

1. Montrer que les points $P$, $Q$ et $R$ définissent un plan.\\
2. Montrer que le triangle $PQR$ est isocèle en $R$.

Exercice 522. Centre de gravité d'un triangle

\\ Soient $A(1;0;4)$, $B(0;1;2)$ et $C(4;3;0)$. \\ Déterminer les coordonnées du centre de gravité $G$ du triangle $ABC$. \\ On rappelle que le centre de gravité du triangle $ABC$ est défini par l'égalité $\vect{GA}+\vect{GB}+\vect{GC} = \vect{0}$.

Exercice 523. Droites parallèles

\\ Soit $(d)$ la droite de vecteur directeur $\vect{u} (2;1;4)$ et soit $(d')$ la droite de vecteur directeur $\vect{v}(-14;-7;-28)$. \\ Les droites $(d)$ et $(d')$ sont-elles parallèles ?