Rang d'une matrice

Exercice 5594. Soient $n \in \N - \{0,1\}$.\\ On considère la matrice $A_{n} \in M_{n}(\R)$ définie par\\ \[ A_{n}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 & 1\\ 1 & 1 & \ddots & \vdots & 0\\ 0 & 1 & \ddots & 0 & \vdots\\ \vdots & \ddots & \ddots & 1 & 0\\ 0 & \cdots & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}. \] Déterminer le rang de $A_{n}$.
Exercice 5595. Soient $u,v\in \mathbb{R}^n\setminus\{0\}$.\\ On pose \[ M=uv^T. \] Montrer que $M$ est de rang $1$.
Exercice 5596. Quel est le rang de $A=(\sin(i+j))_{1 \leqslant i,j \leqslant n}\in M_n(\R)$
Exercice 5597. On note $(\varphi_n)_{n\in\N}$ la suite de Fibonacci, définie par $\varphi_0=0$, $\varphi_1=1$ et :\\ \[ \forall n\in\N,\ \varphi_{n+2}=\varphi_{n+1}+\varphi_n. \] Soit $n\in\N-\{0,1\}$. Déterminer le rang de la matrice $A_n=(\varphi_{i+j})_{0 \leqslant i,j \leqslant n}\in M_{n+1}(\R)$.
Exercice 5598. On considère la matrice \[ A=\begin{pmatrix} -3&2&5\\ -6&4&10\\ 3&-2&-5 \end{pmatrix}. \]
  1. Déterminer le rang de la matrice $A$.\\
  2. Montrer qu'il existe deux vecteurs colonnes $U$ et $V$, dans $\mathbb{R}^3$, tels que $A=U\,{}^tV$.\\
  3. Déduire $A^2$, puis $A^n$ pour $n \in \mathbb{N}^*$
Exercice 5599. Soient $n \in \N^{*}$, $H \in M_{n}(K)$ tel que $\mathrm{rg}(H) \leqslant 1$.\\
  1. Montrer qu'il existe $(U,V) \in \big(M_{n,1}(K)\big)^{2}$ tel que : $H = U \, {}^{t}V$ et $\mathrm{tr}(H) = {}^{t}V U$.\\
  2. Montrer : $\forall A \in M_{n}(K)$, $HAH = \mathrm{tr}(AH)H$.
Exercice 5600. Soit $A \in \mathcal{M}_n(K)$ une matrice carrée de rang $1$.\\
  1. Établir l’existence de colonnes $X,Y \in \mathcal{M}_{n,1}(K)$ vérifiant $A=X\,{}^tY$.\\
  2. En déduire l’existence de $\lambda \in K$ tel que $A^2=\lambda A$.
Exercice 5601. Soit $A$ une matrice carrée de rang $1$.\\ Montrer qu’il existe $\lambda \in K$ tel que $A^2=\lambda A$.
Exercice 5602. Soient $A \in \mathcal{M}_n(K)$, $B \in \mathcal{M}_p(K)$ et \[ M= \begin{pmatrix} A & O_{n,p}\\ O_{p,n} & B \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{n+p}(K). \] Établir \[ \mathrm{rg}(M)=\mathrm{rg}(A)+\mathrm{rg}(B). \]
Exercice 5603. Soient $B \in \mathcal{M}_{n,p}(K)$ et $C \in \mathcal{M}_p(K)$.\\ Montrer que \[ \mathrm{rg} \begin{pmatrix} I_n & B\\ O_{p,n} & C \end{pmatrix} = n+\mathrm{rg}(C). \]
Exercice 5604. Soient $A \in \mathrm{GL}_p(\mathbb{R})$, $B \in \mathcal{M}_{p,q}(\mathbb{R})$, $C \in \mathcal{M}_q(\mathbb{R})$ et \[ M= \begin{pmatrix} A & B\\ O_{q,p} & C \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{p+q}(\mathbb{R}). \] Déterminer le rang de $M$ en fonction de celui de $C$.
Exercice 5605. Soit $(n,p)\in(\mathbb{N}^*)^2$. On note, pour toute $A=(a_{ij})_{i,j}\in M_{n,p}(\mathbb{C})$ : \[ \overline{A}=(\overline{a_{ij}})_{i,j},\quad \mathrm{Re}(A)=(\mathrm{Re}(a_{ij}))_{i,j},\quad \mathrm{Im}(A)=(\mathrm{Im}(a_{ij}))_{i,j}, \] qui sont dans $M_{n,p}(\mathbb{C})$.\\
  1. Montrer, pour toute $A\in M_{n,p}(\mathbb{C})$ : $\mathrm{rg}(\overline{A})=\mathrm{rg}(A)$.\\
  2. En déduire, pour toute $A\in M_n(\mathbb{C})$ : \[ \mathrm{rg}(\mathrm{Re}(A))\leqslant 2\,\mathrm{rg}(A)\quad\mathrm{et}\quad \mathrm{rg}(\mathrm{Im}(A))\leqslant 2\,\mathrm{rg}(A). \]
    1. Donner un exemple de $A\in M_2(\mathbb{C})$ telle que : \[ \mathrm{rg}(A)=1,\quad \mathrm{rg}(\mathrm{Re}(A))=2,\quad \mathrm{rg}(\mathrm{Im}(A))=2. \]
    2. Donner un exemple de $A\in M_2(\mathbb{C})$ telle que : \[ \mathrm{rg}(A)=2,\quad \mathrm{rg}(\mathrm{Re}(A))=1,\quad \mathrm{rg}(\mathrm{Im}(A))=1. \]
Exercice 5606. Calculer le rang des matrices suivantes en fonction des paramètres :\\
  1. $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ b+c & c+a & a+b\\ bc & ca & ab \end{pmatrix}$
  2. $\begin{pmatrix} 1 & \cos \theta & \cos 2\theta\\ \cos \theta & \cos 2\theta & \cos 3\theta\\ \cos 2\theta & \cos 3\theta & \cos 4\theta \end{pmatrix}$
  3. $\begin{pmatrix} a & b & 0 & \cdots & 0\\ 0 & a & b & \ddots & \vdots\\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 0\\ 0 & \cdots & 0 & a & b\\ b & 0 & \cdots & 0 & a \end{pmatrix}$
Exercice 5607. Soient $n \in \mathbb{N}^*$ et $M \in M_n(\mathbb{R})$. Montrer que la matrice $M$ est inversible ou nulle si et seulement si pour tout $A \in M_n(\mathbb{R})$ : \[ \mathrm{rg}(AM)=\mathrm{rg}(MA) \]
Exercice 5608. Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ une matrice de rang $r$.\\ Déterminer la dimension de l’espace \[ \left\{B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \mid ABA=O_n\right\}. \]
Exercice 5609. Soit $H \in \mathcal{M}_n(K)$ une matrice de rang $1$.\\
  1. Montrer qu’il existe des matrices $U,V \in \mathcal{M}_{n,1}(K)$ telles que $H=U\,{}^tV$.\\
  2. En déduire \[ H^2=\mathrm{tr}(H)H. \]
  3. On suppose $\mathrm{tr}(H) \neq -1$.\\ Montrer que $I_n+H$ est inversible et \[ (I_n+H)^{-1}=I_n-\frac{1}{1+\tr(H)}H. \]
  4. Soit $A \in \mathrm{GL}_n(K)$ telle que $\mathrm{tr}(HA^{-1}) \neq -1$.\\ Montrer que $A+H$ est inversible et \[ (A+H)^{-1}=A^{-1}-\frac{1}{1+\tr(HA^{-1})}A^{-1}HA^{-1}. \]
Exercice 5610. Soient $A,B,C,D \in \mathcal{M}_n(K)$.\\
  1. On note $\begin{pmatrix} A & B \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{n,2n}(K)$ la matrice obtenue en accolant les colonnes de $B$ à droite de celles de $A$.\\ Montrer que \[ \rg\begin{pmatrix} A & B \end{pmatrix}=\mathrm{rg}(A) \Longleftrightarrow \exists U \in \mathcal{M}_n(K),\quad B=AU. \]
  2. On note $\begin{pmatrix} A \\ C \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{2n,n}(K)$ la matrice obtenue en accolant les lignes de $C$ en dessous de celles de $A$.\\ Montrer que \[ \mathrm{rg}\begin{pmatrix} A \\ C \end{pmatrix}=\rg(A) \Longleftrightarrow \exists V \in \mathcal{M}_n(K),\quad C=VA. \]
  3. En déduire \[ \mathrm{rg}\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}=\rg(A) \Longleftrightarrow \exists U,V \in \mathcal{M}_n(K),\quad \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A & AU \\ VA & VAU \end{pmatrix}. \]
Exercice 5611. Soit $M \in \mathcal{M}_n(K)$ une matrice de rang $r$ décomposée par blocs sous la forme \[ M= \begin{pmatrix} A & B\\ C & D \end{pmatrix} \] avec $A \in \mathcal{M}_r(K)$ supposée inversible.\\
  1. Montrer que pour toute colonne $Y \in \mathcal{M}_{n-r,1}(K)$, il existe une colonne $X \in \mathcal{M}_{r,1}(K)$ telle que \[ M \begin{pmatrix} O_r\\ Y \end{pmatrix} = M \begin{pmatrix} X\\ O_{n-r} \end{pmatrix}. \]
  2. En déduire que \[ D=CA^{-1}B. \]
Exercice 5612. Soient $A,B \in \mathcal{M}_n(K)$.\\
  1. Justifier qu’il existe $U,V \in \mathrm{GL}_n(K)$ tels que \[ \rg(UA+BV)=\min(n,\rg(A)+\rg(B)). \]
  2. On suppose $\rg(A)+\rg(B) \geqslant n$.\\ Montrer qu’il existe $U,V \in \mathrm{GL}_n(K)$ tels que $UA+BV \in \mathrm{GL}_n(K)$.
Exercice 5613. Soient $A,B \in M_n(\mathbb{C})$ vérifiant $A^2B=A$ et $\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}(B)$.\\ Montrer que $B^2A=B$.