Equations différentielles avec contexte

Exercice 414. Mouvement uniforme

\\ On considère un point $M$ mobile sur une droite graduée, d'abscisse $x(t)$. Le déplacement de ce point étant uniforme de vitesse constante $v_0$ m.$s^{-1}$, avec la condition initiale $x(0)=x_0$. \\
  1. Ecrire l'équation différentielle vérifiée par $x$. \\
  2. En déduire l'expression de $x(t)$ pour tout $t \geqslant 0$.

Exercice 415. Concentration d'un médicament

\\ Après avoir administré un médicament par injection intraveineuse de courte durée, la concentration plasmatique notée $c_0$ de ce dernier est maximale à l'instant $t=0$. Elle diminue ensuite en fonction du temps. On considère que sa vitesse d'élimination est proportionnelle à la quantité $c(t)$ du médicament encore présente dans l'organisme à l'instant $t$. \\ A chaque instant $t$, nous disposons de l'équation différentielle $c'(t) = -kc(t)$ avec $k>0$ est une constante d'élimination déterminée par la nature du médicament injecté. \\
  1. Déterminer les solutions de cette équation différentielle.\\
  2. En considérant la condition initiale, déterminer l'expression complète de $c(t)$. \\
  3. La demi-vie $T$ de ce médicament désigne le temps nécessaire pour que la concentration de ce médicament dans le plasma sanguin soit diminuée de la moitié de sa valeur initiale. \\ Déterminer l'expression de $T$ en fonction de $k$.

Exercice 416. Loi de Newton

\\ La loi de refroidissement de Newton stipule que la vitesse de refroidissement de la température $T(t)$ (en degré Celsius) d'un objet à l'instant $t$ (en minute) est proportionnelle à la différence entre la température de l'objet et la température $T_a$ du milieu ambiant. \\ Nous supposons que l'objet possède une température initiale $T(0)=T_0$. \\ Cette loi de Newton, qui décrit l'évolution de la température $T(t)$ satisfait donc à l'équation différentielle \[ T'(t) = k(T(t)-T_a) \] avec la condition initiale $T(0)=T_0$. Le coefficient de proportionnalité $k \neq 0$ dépend essentiellement de la surface de contact entre l'objet et son milieu. \\
  1. Déterminer les solutions de l'équation différentielle donnée. \\
  2. En déduire l'expression de $T(t)$ en fonction de $T_0$, $T_a$, $k$ et $t$.

Exercice 417. Loi de désintégration

\\ On désigne par $N(t)$ le nombre d'atomes d'une substance radioactive à l'instant $t$ (en secondes). \\ La loi de désintégration radioactive stipule que le taux de variation du nombre $N(t)$ est proportionnel au nombre $N(t)$. \\ Ce qui signifie qu'entre les instants $t$ et $t+h$, on a \[ \Frac{N(t+h)-N(t)}{h} = -a N(t) \] où $a$ est une constante dépendant de la substance radioactive considérée. \\
  1. En supposant que la fonction $t \mapsto N(t)$ est dérivable en $t \geqslant 0$, justifier que la fonction $N$ est solution de l'équation différentielle $y'=-ay$. \\
  2. Déterminer la loi de désintégration radioactive, sachant que la condition initiale est $N_0 = N(0)$. \\
  3. La demi-vie d'une substance radioactive est le temps $T$ au bout duquel la moitié des atomes radioactifs sont désintégrés. Calculer $T$ en fonction de $a$.

Exercice 418. Chute d'un corps

\\ On laisse tomber un corps de masse $m$, dans le champ de pesanteur. La vitesse $v$ du centre d'inertie de ce corps est fonction du temps $t$ de la chute, et satisfait à l'équation différentielle \[ m v'(t) = mg-kv \] où $k > 0$ est le coefficient de freinage dû à la résistance de l'air et $g$ l'accélération de la pesanteur. \\
  1. Résoudre cette équation différentielle. \\
  2. On suppose qu'à l'instant $t = 0$, la vitesse est nulle. \\ Montrer que, pour tout $t \geqslant 0$, on a $v(t) = \Frac{mg}{k}\parenthese{1-e^{-\frac{k}{m}t}}$. \\
  3. Quelle est la limite de $t \mapsto v(t)$ lorsque $t$ tend vers $+\infty$ ? Interpréter ce résultat. \\
  4. La résistance de l'air est négligée en faisant tendre $k$ vers $0$. Déterminer $t \mapsto v(t)$. Interpréter le résultat obtenu. \\
Exercice 419. En 1980, 10 000 ménages vivant en France étaient équipés d'un ordinateur. \\ On note $f(t)$ le nombre de ces ménages, en million, $t$ années après 1 980 $(t \geqslant 0)$. \\ On admet que $f$, sur $[0,40]$ est solution de l'équation \[ (E_1) \quad y'=0,022y(20-y) \]
    1. On pose $u = \Frac{1}{f}$. \\ Montrer que $f$ est solution de $(E_1)$ si et seulement si $u$ est solution de $(E_2) \quad y'=-0,44y+0,022$. \\
    2. Déterminer toutes les solutions de $(E_2)$. \\
    3. En déduire toutes les solutions de $(E_1)$. \\
    4. Montrer que $f$ est définie sur $[0,40]$ par $f(t) = \Frac{20}{1+1999e^{-0,44t}}$. \\
  2. D'après l'Insee, en 2014, la France comptait 28 765,9 milliers de ménages dont 78,8% étaient équipés d'un ordinateur. Expliquer pourquoi l'estimation faite par ce modèle est incorrecte.

Exercice 420. Loi de Newton n°2

\\ A l'instant $t=0$ (exprimé en heures), on place un corps dont la température est de 100 °C dans une salle à 20°C. \\ On note $\theta(t)$ la température du corps à l'instant $t$. \\ D'après la loi de refroidissement de Newton, la vitesse de refroidissement $\theta'(t)$ est proportionnelle à la différence entre la température du corps et celle de la salle. \\ Le coefficient de refroidissement est égal ici à $-2,08$°C. \\
  1. Déterminer l'équation différentielle vérifiée par $\theta$. \\
  2. En déduire l'expression de $\theta(t)$. \\
    1. Etudier le sens de variations de $\theta$ sur $\Rp$. \\
    2. Déterminer la limite de $\theta$ en $+\infty$. Est-ce cohérent ?\\
  4. Déterminer la température du corps, arrondie au degré, au bout de 20 minutes, puis de 30 minutes. \\
  5. Déterminer une valeur approchée du temps au bout duquel la température tombera à 30°C.

Exercice 421. Culture de microbes

\\ Dans une culture de microbes, le nombre de microbes à un instant $t$, exprimé en heures, peut être considéré comme une fonction $y$ à valeurs réelles de la variable $t$. \\ La vitesse de prolifération à l'instant $t$ du nombre des microbes est la dérivée $y'$ de cette fonction. \\ On a constaté que $y'(t) = ky(t)$ où $k$ est un coefficient réel strictement positif. \\ On désigne par $N$ le nombre de microbes à l'instant $t=0$. \\
  1. Déterminer l'unique solution de l'équation différentielle $y'=ky$ telle que $y(0)=N$. \\
  2. Sachant qu'au bout de 2 heures le nombre de microbes a quadruplé, calculer, en fonction de $N$, le nombre de microbes au bout de 3 heures. \\
  3. Quelle est la valeur de $N$ sachant que la culture contient 6400 microbes au bout de cinq heures ?