Equations différentielles

Exercice 394. Pour $x \in \Rpe$, déterminer l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $y' = \Frac{1}{x^2}$.
Exercice 395. Résoudre l'équation différentielle $y'+2y = 0$ avec $y(0)=1$.
Exercice 396. Soit l'équation différentielle $x^2y'+(x-1)y = 2x^2-x$.\\ Déterminer les réels $a$ et $b$ pour que la fonction $g(x) = ax+b$ soit solution de cette équation.
Exercice 397. On considère l'équation différentielle $(E) \quad y'+y=x+1$.\\
  1. On pose $z = y-x$. Montrer que $y$ est solution de $(E)$ si et seulement si $z$ est solution d'une équation différentielle $(F)$ qu'on écrira. \\
  2. Résoudre $(F)$ puis $(E)$. \\
  3. Trouver la solution de $(E)$ qui prend la valeur $1$ en $0$.
Exercice 398. $(E)$ est l'équation différentielle $y'-2y=\Frac{-2}{1+e^{—2x}}$.\\ Montrer que $f$ est solution de $(E)$ si et seulement si $g$ définie par $f(x) = e^{2x}g(x)$ est solution de $y' = \Frac{-2e^{-2x}}{1+e^{-2x}}$. \\ En déduire l'ensemble des solutions de $(E)$.
Exercice 399. On considère l'équation différentielle : $y' + y = e^{-x} \, (E)$. \\
  1. Montrer que la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x) = xe^{-x}$ est solution de $(E)$. \\
  2. Montrer que $f$ est solution de $(E)$ si et seulement si $f-g$ est solution de l'équation : $y'+y=0 \, (E_0)$. \\
  3. Résoudre sur $\R$ $(E_0)$. \\
  4. En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E)$ sur $\R$.
Exercice 400. Soit l'équation différentielle $(E)$ : $y'+3y = e^{2x}$. \\
  1. Déterminer $a \in \R$ tel que la fonction $p$ définie sur $\R$ par $p(x) = ae^{2x}$ soit une solution particulière de $(E)$. \\
  2. Résoudre sur $\R$ l'équation $(E)$. \\
  3. Déterminer la solution de $(E)$ vérifiant $y(0)=1$.
Exercice 401. Soit l'équation différentielle $(E) \quad y'-2y=xe^x$.\\
  1. Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que $u(x) = (ax+b)e^x$ soit une solution de $(E)$. \\
  2. Déterminer l'ensemble des solutions de $(E)$ sur $\R$. \\
  3. Déterminer la solution de $(E)$ qui s'annule en $0$.
Exercice 402. On considère l'équation différentielle $(E)$ : $y'-2y=e^{2x}$. \\
  1. Démontrer que la fonction $u$ définie sur $\R$ par $u(x) = xe^{2x}$ est une solution de $(E)$. \\
  2. Résoudre l'équation différentielle $(E_0)$ : $y'-2y=0$. \\
  3. En déduire toutes les solutions de l'équation $(E)$. \\
  4. Déterminer la fonction, solution de $(E)$, qui prend la valeur 1 en 0.
Exercice 403. $(E)$ est l'équation différentielle $y'-y=\cos{x}-3\sin{x}$.\\
  1. Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que $g(x) = a\cos{x}+b\sin{x}$ soit solution de $(E)$. \\
  2. Montrer que $f$ est solution de $(E)$ si et seulement si $f-g$ est solution de $(E_0) \quad y'-y=0$. \\
  3. Déterminer toutes les solutions de $(E_0)$. \\
  4. En déduire l'ensemble des solutions de $(E)$. \\
  5. Déterminer la solution $f$ de $(E)$ telle que $f\parenthese{\Frac{\pi}{3}} = 0$.
Exercice 404. On considère l'équation différentielle : $y'=y-y^2$ $(E_1)$. \\
  1. Soit $f$ une solution de $(E_1)$ qui ne s'annule pas sur $\R$. \\ On pose $g = \Frac{1}{f}$. \\ Montrer que $g$ est solution de l'équation différentielle $y'=1-y$ $(E_2)$. \\
  2. Résoudre l'équation différentielle $(E_2)$ sur $\R$. \\
  3. En déduire l'ensemble des solutions de $(E_1)$ qui ne s'annulent pas sur $\R$.
Exercice 405. Soit l'équation différentielle $(E) \quad y'+y=2(x+1)e^{-x}$.\\
  1. Montrer que $f_0$ définie sur $\R$ par $f_0(x)=(x^2+2x)e^{-x}$ est une solution de $(E)$. \\
  2. Résoudre l'équation différentielle $(E') \quad y'+y=0$. \\
  3. Soit $u$ une solution de $(E')$. Montrer que la fonction $f_0+u$ est une solution de $(E)$. \\ On admettra que, réciproquement, toute solution $f$ de $(E)$ est de la forme $f = f_0 + u$ où $u$ est une solution de $(E')$. \\
  4. En déduire pour $x \in \R$, l'expression de $f(x)$ lorsque $f$ est solution de $(E)$.
Exercice 406. On considère l'équation différentielle $(E) \quad y-y' = \Frac{e^x}{x^2}$.\\
  1. Vérifier que $u(x) = \Frac{e^x}{x}$ est solution de $(E)$ sur $\Rpe$. \\
  2. Montrer que $v$ définie sur $\Rpe$ est solution de $(E)$ si et seulement si $v-u$ est solution de $(F) \quad y-y' = 0$. \\
  3. En déduire toutes les solutions de $(E)$ sur $\Rpe$.
Exercice 407. On considère l'équation différentielle $(E) \quad y''-y=0$.\\
  1. Déterminer les réels $r$ tels que $h(x)=e^{rx}$ soit solution de $(E)$. \\
  2. Vérifier que les fonctions $\varphi$ définies par $\varphi(x) = \alpha e^x + \beta e^{-x}$, où $\alpha$ et $\beta$ sont deux nombres réels, sont des solutions de $(E)$. \\ On admet qu'on obtient ainsi toutes les solutions de $(E)$. \\
  3. Déterminer la solution particulière de $(E)$ dont la courbe représentative passe par le point de coordonnées $\parenthese{\ln{2};\Frac{3}{4}}$ et admet en ce point une tangente dont le coefficient directeur est $\Frac{5}{4}$.
Exercice 408. Soit un entier $n \geqslant 2$. \\
  1. Résoudre l'équation différentielle $(E_1) \quad y'-\Frac{1}{n}y = 0$. \\
  2. On considère l'équation différentielle $(E_2) \quad y'-\Frac{1}{n}y = -\Frac{x+1}{n}(n+1)$. \\ Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que la fonction affine $g$ définie sur $\R$ par $g(x) = ax+b$ soit solution de $(E_2)$. \\
    1. Montrer que $h$ définie sur $\R$ est solution de $(E_2)$ si et seulmement si $h-g$ est solution de $(E_1)$. \\
    2. En déduire toutes les solutions de $(E_2)$. \\
    3. Déterminer la solution de $(E_2)$ vérifiant $f(0)=0$.
Exercice 409. Soit $f$ une fonction définie, dérivable sur $\Rpe$ telle que $f$ et $f'$ ne s'annulent pas sur $\Rpe$. \\ Soit $M$ un point de $\Cf$ d'abscisse $a$ et $T$ la tangente à $\Cf$ au point $M$. \\
    1. Déterminer une équation de $T$. \\
    2. Montrer que $T$ coupe l'axe des ordonnées en un point $N$ d'ordonnée $y_N = f(a)-af'(a)$. \\
  2. Soit $k \in \R^*$. On souhaite déterminer les fonctions $f$ pour lesquelles $f(a)-y_N$ est constante égale à $k$, pour tout réel $a \in \Rpe$. \\
    1. Montrer que $f$ vérifie la condition posée si et seulement si $f$ vérifie l'équation différentielle $y'=\Frac{k}{x}$. \\
    2. En déduire la famille des fonctions vérifiant la propriété donnée et déterminer pour $k=\Frac{1}{2}$ la fonction $f$ de cette famille vérifiant $f(1)=0$.
Exercice 410. Soit $(E)$ l'équation différentielle $y' = - \Frac{1}{50}y(4-\ln(y))$.\\
  1. Soit $f$ une fonction strictement positive sur $\Rpe$. \\ Montrer que $f$ est solution de $(E) \iff$ $\ln(f)$ est solution de $(E') : y' = \Frac{1}{50}y- \Frac{2}{25}$. \\
  2. En déduire toutes les solutions de $(E)$.
Exercice 411. Dire si les assertions suivantes sont vraies ou fausses en justifiant. \\
  1. Les solutions non nulles de l'équation $y'=ay$ où $a > 0$ ont pour limite $+\infty$ lorsque $x \to +\infty$. \\
  2. Les solutions de l'équation $3y'-2y=1$ sont de la forme $Ce^{-\frac{1}{2}x}+\Frac{2}{3}$, où $C$ est une constante réelle. \\
  3. La solution de l'équation $y'+y=1$, qui prend la valeur $2$ en 0, a pour limite $+\infty$ en $-\infty$.
Exercice 412. Déterminer l'équation d'une courbe passant par $A(-1;2)$ et telle qu'en chaque point $M$ de la courbe, le coefficient directeur de la tangente est égal au triple de l'ordonnée du point $M$.
Exercice 413. On considère une fonction $f$ une fonction définie sur $\R$, strictement positive, dérivable dont la dérivée est strictement positive. Pour tout point $M$ d'abscisse $t$ appartenant à $\Cf$, on considère le point $P$ de coordonnées $(t,0)$ et le point $N$, intersection de la tangente en $M$ à $\Cf$ avec l'axe des abscisses. \\
  1. Calculer la distance $PN$ en fonction de $f(t)$ et $f'(t)$.\\
  2. Déterminer une équation différentielle $(E_k)$ vérifiée par $f$ pour laquelle la distance $PN$ est une constante $k$. \\
  3. Déterminer les fonctions $f$ solutions de $(E_k)$.