Rappels

Exercice 8509. Le plan est rapporté à un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$. On considère les points $A(-3 \; ; \; 2)$, $B(4 \; ; \; -2)$ et $C(3 \; ; \; 6)$.
  1. Quelle est la nature du triangle $ABC$ ?
  2. Déterminer les coordonnées de $H$, milieu de $[AC]$.
  3. Soit le point $K(2 \; ; \; 1)$. Montrer qu'il appartient à la médiane issue de $B$.
  4. Calculer l'aire du triangle $ABC$.
Exercice 8511. Le plan est rapporté à un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$. Dans chacun des cas, étudier si le triangle $ABC$ est isocèle, rectangle, ou rectangle isocèle :
  1. $A\!\left(\dfrac{1}{3} \; ; \; -\dfrac{1}{2}\right)$, $B(2 \; ; \; -1)$, $C\!\left(\dfrac{3}{2} \; ; \; -\dfrac{8}{3}\right)$
  2. $A\!\left(\dfrac{1}{2} \; ; \; 4\right)$, $B\!\left(-\dfrac{3}{2} \; ; \; 1\right)$, $C\!\left(4 \; ; \; -\dfrac{1}{2}\right)$
  3. $A(2 \; ; \; 5)$, $B(5 \; ; \; 11)$, $C(-2 \; ; \; 7)$
Exercice 8512. Le plan est rapporté à un repère $(O, \vec{i}, \vec{j})$. Dans chacun des cas, déterminer une équation de la droite $\Delta$ :
  1. $\Delta$ passe par $A(\sqrt{2}-1 \; ; \; 3)$ et $B(1 \; ; \; \sqrt{2})$.
  2. $\Delta$ passe par $A\!\left(-\dfrac{3}{5} \; ; \; \dfrac{1}{2}\right)$ et admet le vecteur $\vec{u}\binom{-3}{2}$ comme vecteur directeur.
  3. $\Delta$ passe par $A(3 \; ; \; -5)$ et son coefficient directeur est $m = -\dfrac{7}{5}$.
  4. $\Delta$ passe par $A\!\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}} \; ; \; \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$ et est parallèle à la droite $\mathcal{D}$ d'équation $3x + 2y + 7 = 0$.
Exercice 8527. Soit un triangle $ABC$.
  1. Placer les points $D$ et $E$ définis par : \[ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} \quad \text{et} \quad \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} \]
  2. Montrer que les points $A$, $D$ et $E$ sont alignés.
  3. Montrer que les droites $(BC)$ et $(DE)$ sont parallèles.
Exercice 8529. $A$ et $B$ sont deux points donnés. Placer le point $M$ satisfaisant à la relation proposée après avoir déterminé le réel $x$ tel que $\overrightarrow{AM} = x\overrightarrow{AB}$ :
  1. $\overrightarrow{MA} + 3\overrightarrow{MB} = \vec{0}$
  2. $\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AM} - \dfrac{1}{3}\overrightarrow{BM} = \vec{0}$
Exercice 8530. $A$, $B$ et $C$ sont trois points donnés. Placer le point $M$ satisfaisant à la relation proposée après avoir déterminé les réels $x$ et $y$ tels que $\overrightarrow{AM} = x\overrightarrow{AB} + y\overrightarrow{AC}$ :
  1. $\overrightarrow{BM} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC}$
  2. $2\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{BC}$
Exercice 8510. Le plan est rapporté à un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$. On considère les points $A(-2 \; ; \; -3)$, $B(4 \; ; \; -1)$ et $C(2 \; ; \; 5)$.
  1. Quelle est la nature du triangle $ABC$ ?
  2. Déterminer les coordonnées du point $R$, milieu de $[BC]$.
  3. Soit $E$ le symétrique de $A$ par rapport à $R$. Quelle est la nature du quadrilatère $ABEC$ ?
  4. Déterminer les coordonnées du point $F$ pour que le quadrilatère $BCEF$ soit un rectangle.
  5. Soit $K$ le milieu de $[AB]$ et $L$ le milieu de $[AC]$. Déterminer les coordonnées du point d'intersection de $(CK)$ et $(BL)$.
Exercice 8513. Le plan est rapporté à un repère $(O, \vec{i}, \vec{j})$. On donne les points $A(-2 \; ; \; 1)$, $B(3 \; ; \; 3)$ et $C(0 \; ; \; -1)$.
  1. Déterminer les coordonnées du point $D$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme. Calculer les coordonnées de son centre $L$.
  2. En déduire les coordonnées du centre de gravité $G$ du triangle $ABD$.
  3. On note $E$ le symétrique de $C$ par rapport à $D$.
    1. Calculer les coordonnées de $E$.
    2. Les points $E$, $G$ et $B$ sont-ils alignés ?
Exercice 8515. Le plan est rapporté à un repère $(O, \vec{i}, \vec{j})$. On considère les droites : \[ \Delta : y = -x + 2 \quad \text{et} \quad \mathcal{D} : 2x + y - 6 = 0 \]
  1. Calculer les coordonnées du point $A$, point d'intersection de $\Delta$ et $\mathcal{D}$.
  2. La droite $\mathcal{D}$ coupe l'axe des abscisses en $E$ et l'axe des ordonnées en $F$. La droite $\Delta$ coupe l'axe des abscisses en $B$ et l'axe des ordonnées en $C$. Calculer les coordonnées de $E$, $F$, $B$ et $C$.
  3. Calculer l'aire du quadrilatère $BCFE$, puis l'aire du triangle $ABE$.
  4. On note $H$ le projeté orthogonal du point $C$ sur la droite $\mathcal{D}$. À l'aide des résultats précédents, calculer la distance $CH$.
Exercice 8528. Dans un parallélogramme $ABCD$, on considère les points $E$ et $F$ définis par : \[ \overrightarrow{BE} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} \quad \text{et} \quad \overrightarrow{AF} = 3\overrightarrow{AD} \] Montrer que les points $C$, $E$ et $F$ sont alignés.
Exercice 8531. Soit un triangle $ABC$. On considère les points $K$, $L$ et $M$, milieux respectifs de $[AB]$, $[AC]$ et $[BC]$, $P$ le milieu de $[LC]$ et $Q$ le symétrique de $K$ par rapport à $B$.
  1. Donner les coordonnées des points $P$, $M$ et $Q$ dans le repère $(A, \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})$.
  2. Les points $P$, $M$ et $Q$ sont-ils alignés ?
Exercice 8532. Dans la figure, les graduations sur les côtés du triangle $ABC$ sont régulières. On note $P$, $Q$ et $R$ les points indiqués sur la figure.
  1. Justifier que $(B, \overrightarrow{BC}, \overrightarrow{BA})$ est un repère du plan. Déterminer les coordonnées des points $P$, $Q$ et $R$ dans ce repère.
  2. Prouver que les points $P$, $Q$ et $R$ sont alignés.
Exercice 8514. Le plan est rapporté à un repère $(O, \vec{i}, \vec{j})$. On donne les points $A(-1 \; ; \; 3)$, $B(3 \; ; \; 1)$ et $C(-4 \; ; \; -1)$. Le point $D$ est défini par $\overrightarrow{CD} = 3\overrightarrow{AB}$. On note $I$ et $J$ les milieux respectifs de $[AB]$ et $[CD]$.
  1. Préciser la nature du quadrilatère $ABDC$.
  2. Calculer les coordonnées des points $D$, $I$ et $J$.
  3. Les droites $(AC)$ et $(BD)$ se coupent en $E$.
    1. Justifier qu'il existe un réel $k$ tel que $\overrightarrow{AE} = k\overrightarrow{AC}$. Écrire les coordonnées de $E$ en fonction de $k$.
    2. Démontrer que $k = -\dfrac{1}{2}$, et en déduire les coordonnées de $E$.
  4. Déterminer une équation de la droite $(AD)$, puis une équation de la droite $(BC)$.
  5. Les droites $(AD)$ et $(BC)$ se coupent en $F$. Calculer les coordonnées de $F$.
  6. Prouver que les points $E$, $I$, $F$ et $J$ sont alignés.