Exercices divers

Exercice 9657. On considère la fonction $f$ : $x \mapsto \Frac{2}{\cos(2x)+2}$.
  1. Quel est l'ensemble de définition de cette fonction ?
  2. Etudier la parité de $f$. \\ En déduire que sa courbe représentative $\Cf$ admet un élément de symétrie.
  3. Montrer que $f$ est $\pi$-périodique.
  4. Expliquez comment représenter graphiquement la fonction $f$ ?
  5. Justifier que, pour tout réel $x$, $\Frac{2}{3} \leqslant f(x) \leqslant 2$.
  6. Déterminer les coordonnées des points communs à la courbe $\Cf$ et à la droite d'équation $y=2$. Même question avec la droite d'équation $y = \Frac{3}{2}$.
  7. Soit $a$ un réel tel que $a \geqslant 2$. Déterminer une période de la fonction \[ g : x \mapsto \Frac{a}{\cos(ax) + a}\]
Exercice 9661.
  1. Pour tous les réels $a$ et $b$, nous posons \[ \begin{cases} a+b = p \\ a-b = q \end{cases} \] En utilisant les formules qui transforment un produit en une somme établies dans l'exercice précédent, prouver les formules qui transforment une somme en un produit, c'est-à-dire \[ \cos{p}+\cos{q} = 2 \cos{ \Frac{p+q}{2}} \cos{ \Frac{p-q}{2}}\]\[\cos{p}-\cos{q} = -2 \sin{ \Frac{p+q}{2}} \sin{ \Frac{p-q}{2}}\]\[\sin{p}+\sin{q}=2\sin{\Frac{p+q}{2}}\cos{ \Frac{p-q}{2}}\]\[ \sin{p} - \sin{q} = 2 \sin{ \Frac{p-q}{2}}\cos{ \Frac{p+q}{2}}\]
  2. Application 1. Résoudre dans $\R$ les équations suivantes :
    • $\sin{x}+\sin{2x}+\sin{3x}=0$.
    • $\cos{x}+\cos{7x} = \cos{4x}$.
  3. Application 2. Soient $p$ et $q$ deux réels tels que $\sin{p}+\sin{q} \neq 0$. \\ Prouver que \[ \Frac{ \cos{p}-\cos{q}}{\sin{p}+\sin{q}} = - \tan{ \Frac{p-q}{2}} \] En déduire la valeur exacte de $\tan{ \ps{24}}$.
Exercice 9656. Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(t) = \abs{\sin{\pi t}}$.
  1. Etudier la parité de $f$.
  2. Justifier que $f$ est $1$-périodique.
  3. Représenter graphiquement la fonction $f$.
Exercice 9658. Soient $n$ et $p$ deux entiers naturels non nuls.
  1. Quel est l'ensemble de définition de la fonction $g$ : $x \mapsto \Frac{ \sin{nx}}{\sin{px}} - \Frac{ \cos{nx}}{\cos{px}}$ ?
  2. Pour $x \in D_g$, déterminer l'expression la plus simplifiée du réel $g(x)$.
  3. Calculer $g(x)$ lorsque $n= 3p$.
Exercice 9660.
  1. Soient $a$ et $b$ deux réels quelconques. Etablir l'égalité \[ 2 \sin{a} \cos{b} = \sin(a+b)+\sin(a-b) \]
  2. En déduire que $2\sin{\ps{7}}\parenthese{\cos{\ps{7}}+\cos{\Frac{3\pi}{7}}+\cos{\Frac{5\pi}{7}}}=\sin{\Frac{6\pi}{7}}$.\\ Quelle est la valeur exacte de $\cos{\ps{7}}+\cos{\Frac{3\pi}{7}}+\cos{\Frac{5\pi}{7}}$ ?
Exercice 9662.
  1. Résoudre dans $\R$ l'équation $\cos{4x} = \cos{3x}$. \\ Donner les solutions de cette équation qui appartiennent à $]-\pi,\pi[$.
  2. Justifier que, pour tout réel $x$,
    • $\cos{3x} = 4 \cos^3{x} - 3 \cos{x}$,
    • $\cos{4x} = 8 \cos^4{x} - 8 \cos^2{x}+1$.
  3. En déduire la résolution dans $\R$ de l'équation \[ 8X^4-4X^3-8X^2+3X+1=0\]
Exercice 9663. Soient un réel $\omega > 0$ et $a$ et $b$ deux réels non nuls.
  1. Justifier les deux encadrements suivants \[ -1 \leqslant \Frac{ a }{ \sqrt{a^2+b^2}} \leqslant 1 \quad \text{ et } \quad -1 \leqslant \Frac{ b}{ \sqrt{a^2+b^2}} \leqslant 1 \]
  2. Nous considérons deux fonctions trigonométriques de même pulsation $\omega$, définies, pour tout réel $t$, par $f$ : $t \mapsto \cos{\omega t}$ et $g$ : $t \mapsto \sin{\omega t}$. \\ Nous superposons ces deux fonctions, c'est-à-dire nous en formons une combinaison linéaire, en définissant sur $\R$, la fonction \[h : t \mapsto af(t)+bg(t)\] Montrer qu'il existe un réel $\phi \in ]-\pi,\pi[$, tel que, quel que soit le réel $t$, \[ h(t) = \sqrt{a^2+b^2}\cos(\omega t - \phi) \]
  3. Application. Résoudre dans $\R$ l'équation $\sqrt{3} \cos{2x} - \sin{2x} = -2$.
Exercice 9664.
  1. En utilisant les formules de passage à l'angle "moitié", montrer, pour tout réel $x \neq \ps{2} + k \pi$, avec $k \in \Z$, que nous disposons des deux égalités \[ \sin{2x} = \Frac{2 \tan{x}}{1+\tan^2{x}} \] \[ \cos{2x} = \Frac{1 - \tan^2{x}}{1+\tan^2{x}} \]
  2. En posant $t = \tan{ \Frac{x}{2}}$, avec $x \neq (2k+1)\pi$ et $k \in \Z$, exprimer rationnellement $\sin{x}$ et $\cos{x}$ en fonction du réel $t$.
Exercice 9665. Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par \[ f(x) = x + \sin(\pi x) \] Nous désignons par $\Cf$ la courbe représentative de cette fonction.
  1. Quelle est la parité de $f$ ? Sur quel intervalle peut-on restreindre l'étude de $f$ ?
  2. Montrer que, pour tout réel $x$, $f(x-2)=f(x)-2$. En déduire qu'il existe une translation $T$ qui laisse globalement invariante la courbe $\Cf$, c'est-à-dire \[ \forall M \in \Cf, T(M) \in \Cf \] Sur quel intervalle peut-on restreindre l'étude de $f$ ? Contrôler graphiquement.
  3. Quel est le sens de variation de $f$ sur l'intervalle $[0,1]$ ? En déduire que la courbe $\Cf$ admet une infinité de tangentes horizontales.
  4. Montrer que, pour tout réel $x$, nous disposons de la double inégalité \[ x- 1 \leqslant f(x) \leqslant x+1 \]
  5. Etudier l'intersection de la courbe $\Cf$ avec la droite $(d)$ d'équation $y = x+1$. \\ Traiter la même question avec la droite $(d')$ d'équation $y = x-1$.
Exercice 9666. Soit la fonction $f$ définie sur $[0, \frac{\pi}{2}[$ par \[ f(x) = 2 \sin{x} + \tan{x} - 3x \]
  1. Justifier que $f$ est dérivable sur $[0, \ps{2}[$. \\ Montrer qu'il existe un polynôme $p$ tel que, pour tout réel $x \in [0, \ps{2}[$, \[ f'(x) = \Frac{p(\cos{x})}{\cos^2{x}} \]
  2. Déterminer le sens de variations de $f$ sur $[0, \ps{2}[$. \\ En déduire l'inégalité de Huygens \[ \forall x \in [0, \ps{2}[, 2\sin{x} + \tan{x} \geqslant 2x \]
Exercice 9667.
  1. En étudiant le sens de variations sur l'intervalle $[0,+\infty[$ de la fonction $f : x \mapsto x - \sin{x}$, justifier pour tout réel $x \geqslant 0$, l'inégalité \[ \sin{x} \leqslant x \]
  2. De la même façon, pour tout réel $x \geqslant 0$, prouver les trois inégalités suivantes :
    • $1 - \Frac{x^2}{2} \leqslant \cos{x}$
    • $x - \Frac{x^3}{6} \leqslant \sin{x}$,
    • $\cos{x} \leqslant 1 - \Frac{x^2}{2} + \Frac{x^4}{24}$.
  3. En déduire un encadrement des fonctions $x \mapsto \sin{x}$ et $x \mapsto \cos{x}$ :
    • sur $\Rp$
    • Sur $\Rm$
  4. Application 1. Quelle est la limite en 0 de la fonction $\tau : x \mapsto \Frac{ \sin{x}- x}{x^2}$ ? \\ En déduire que la fonction $f$ définie sur $\R$ par \[ \begin{cases} \Frac{ \sin{x}}{x} & \text{ si } x \neq 0 \\ 1 & \text{ si } x = 0 \end{cases} \]est dérivable en 0.
  5. Application 2. Quelle est la limite en $+\infty$ de la suite définie sur $\N^*$ par \[ u_n = \Frac{ 1 - n \sin{ \Frac{1}{n}} }{ n(1- \cos{ \Frac{1}{n}})} \] Proposer un algorithme qui restitue un seuil $n$ à partir duquel, nous avons $u_n < 10^{-p}$, l'entier $p$ étant choisi par l'utilisateur.
Exercice 9268. Soit $f$ définie sur $\Rp$ par \[ f(x) = e^{-x}\cos(4x) \] On note $\Cf$ sa courbe représentative. \\ Soit $g$ la fonction définie sur $\Rp$ par $g(x) = e^{-x}$ et $\Cg$ sa courbe représentative. \\
  1. Determiner la limite de $f$ en $+\infty$. \\
  2. Déterminer les coordonnées des points communs aux courbes $\Cf$ et $\Cg$. \\
  3. On définit la suite $\un$ par $u_n = f\parenthese{n\Frac{\pi}{2}}$. \\
    1. Montrer que $\un$ est géométrique. Préciser la raison et son premier terme $u_0$. \\
    2. En déduire le sens de variation de la suite $\un$ et étudier sa convergence. \\
    1. Déterminer $f'(x)$ pour tout $x \in \Rp$. \\
    2. En déduire que les courbes $\Cf$ et $\Cg$ ont la même tangente en chacun de leurs points communs. \\
  5. Donner une valeur approchée à $10^{-1}$ du coefficient directeur de la droite $T$ tangente à $\Cf$ au point d'abscisse $\Frac{\pi}{2}$. \\
Exercice 9659.
  1. Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a \neq \ps{2}+ k\pi$, $b \neq \ps{2} + k\pi$, $a+b \neq \ps{2} + k\pi$, avec $k \in \Z$ et $\tan{a} \times \tan{b} \neq 1$. Montrer que \[ \tan(a+b) = \Frac{ \tan{a} + \tan{b} }{1- \tan{a} \tan{b} } \] En déduire, sous réserve que l'égalité qui suit soit définie, que \[ \tan(a-b) = \Frac{ \tan{a} - \tan{b}}{1+ \tan{a}\tan{b} }\]
  2. Une application : calcul de $\tan \ps{12}$.
    1. Quel est l'ensemble de définition de la fonction $g$ : $x \mapsto \Frac{1+\tan{x}}{1-\tan{x}}$ ?
    2. Justifier qu'il existe un réel $\alpha \in ]0,\ps{2}[$ tel que, pour tout réel $x \in D_g$, \[g(x) = \tan(\alpha + x)\]
    3. En déduire la valeur exacte de $\tan{ \Frac{5\pi}{12}}$, puis celle de $\tan{ \ps{12}}$.
Exercice 9668. Nous rappelons ou précisons : Pour tout réel $ a$, $\sqrt[3]{a} $ est l'unique réel satisfaisant à $\sqrt[3]{a})^3 = a$. Dans le plan muni d'un repère orthonormal d'origine $O$, nous donnons un point $A(a,b)$ avec $a > 0$ et $b > 0$. \\ Une droite passant par $A$ coupe la droite des abscisses en un point $M$ d'abscisse positive et la droite des ordonnées en un point $N$ d'ordonnée positive. \\ Nous désignons par :
  • $x \in ]0,\ps{2}[$, une mesure de l'angle $\widehat{OMA}$.
  • $d(x)$ la distance $MN$.
  1. Pour tout $x \in ]0,\ps{2}[$, établir que \[ d(x) = \Frac{a}{\cos{x}} + \Frac{b}{\sin{x}} \]
  2. Justifier que la fonction $d$ : $x \mapsto d(x)$ est dérivable sur $]0,\ps{2}[$. \\ Montrer que l'équation $d'(x) =0$ admet une solution unique $x_0 \in ]0,\ps{2}[$, telle que \[ \tan{x_0} = \sqrt[3]{\Frac{b}{a}} \]
  3. En déduire que la fonction $d$ atteint un minimum en $x_0$.
  4. Donner un algorithme qui restitue ce minimum, les valeurs des réels $a > 0$ et $b > 0$ étant choisies par l'utilisateur.