Exercices divers

Exercice 9631.
  1. Soit $x$ un réel distinct de $\ps{2}+k\pi$, avec $k \in \Z$. \\ Justifier que $\tan(x+\pi) = \tan{x}$ et $\tan(\pi-x) = - \tan{x}$.
  2. Placer, sur le cercle trigonométrique, le point repéré par le réel $\ps{8}$. \\ La figure est à compléter au fur et à mesure de l'exercice.
  3. On donne $\tan \ps{8} = \sqrt{2}-1$. Donner les valeurs exactes de $\tan \Frac{9 \pi}{8}$ et $\tan \Frac{7\pi}{8}$.
  4. Calculer les valeurs exactes de $\cos \ps{8}$ et $\sin \ps{8}$.
  5. En déduire l'égalité $(\sqrt{2}-1)\sqrt{2+\sqrt{2}} = \sqrt{2 - \sqrt{2}}$.
Exercice 9632. temp
Exercice 9634. Soit $ABC$ un triangle quelconque. \\ On pose $AB = c$ et $AC = b$ et $BC = a$. \\ On désigne par $\widehat{A} \in ]0,\pi[$, une mesure en radians de l'angle $\widehat{BAC}$.
  1. Montrer que l'aire de ce triangle est égale à $\Frac{1}{2}bc \sin{ \widehat{A}}$.
  2. En déduire la formule des sinus dans un triangle quelconque, c'est-à-dire \[ \frac{ \sin{\widehat{A}}}{a} = \frac{ \sin{\widehat{B}}}{b} = \frac{ \sin{\widehat{C}}}{c} \]
Exercice 9633. Sur le quart de cercle trigonométrique représenté ci-dessous, le point $A$ est repéré par $\ps{5}$ radians, soit $\widehat{IOA} = 36^\circ$. La bissectrice de l'angle $\widehat{OAI}$ coupe le segment $[OI]$ en $E$.
  1. Montrer que les triangles $OEA$ et $EAI$ sont isocèles.
  2. Dans le triangle $EAI$, $H$ est le pied de la hauteur issue de $A$.\\ Montrer que $HI = 1- \cos\ps{5}$. En déduire que $OE = 2 \cos \ps{5}-1$.
  3. Dans le triangle $OEA$, $L$ est le pied de la hauteur issue de $E$. \\ Montrer que $OE = \Frac{1}{2\cos \ps{5}}$.
  4. Prouver que $\cos{\ps{5}}$ est une solution de l'équation $4X^2-2X-1=0$.
  5. En déduire les lignes trigonométriques de $\ps{5}$, c'est-à-dire les valeurs exactes de $\cos{\ps{5}}$ et $\sin{\ps{5}}$.
Exercice 9635. Trouver les valeurs exactes de $\cos{x}$ et $\sin{x}$, sachant que \[ 3 \sin{x} + 4 \cos{x} = 5 \]
Exercice 9636. Soient $\Gamma$ un cercle de centre $O$, $A$ et $B$ deux points distincts de ce cercle. \\ Pour tout point $M \in \Gamma$, distincts de $A$ et $B$, on désigne par $M'$ le point de $\Gamma$ diamétralement opposé à $M$.
  1. Montrer que \[ 2(\vect{MA}, \vect{MO}) = (\vect{OA},\vect{OM'}) \modulo{2\pi}\]\[ 2(\vect{MB},\vect{MO})=(\vect{OB},\vect{OM'})\modulo{2\pi}\]
  2. En déduire que \[ 2(\vect{MA},\vect{MB}) = (\vect{OA},\vect{OB}) \modulo{2\pi} \]
Exercice 9637. Soient $A$, $B$ deux points distincts du plan. \\ Nous désignons par $\mathcal{C}$ l'ensemble des points $M$ tel que $(\vect{MA}, \vect{MB}) = \ps{2} \modulo{\pi}$, avec $M \neq A$ et $M \neq B$.
  1. Montrer que $\mathcal{C}$ est le cercle de diamètre $[AB]$, privé des points $A$ et $B$.
  2. Quel est l'ensemble des points $M$ distincts de $A$ et $B$ tels que :
    • $(\vect{MA},\vect{MB}) = \ps{2} \modulo{2\pi}$ ?
    • $(\vect{MA},\vect{MB}) = -\ps{2} \modulo{2\pi}$ ?
Exercice 9638. Résoudre dans $\R$ les équations suivantes, puis placer sur le cercle trigonométrique les solutions qui appartiennent à $]-\pi, \pi[$.
  1. $\sin{3x} = 1$.
  2. $\abs{\sin{3x}} = 1$.
  3. $4\cos^{3}x = \cos{x}$.
  4. $2 \cos^2{x} = 3 \cos{x} -1$.
  5. $2 \cos{x} \sin{x} - 2 \cos{x} + \sin{x} = 1$.
Exercice 9639. Résoudre dans $\R$ l'intervalle $]0,2\pi[$ l'inéquation $\Frac{1}{\cos{x}} < \Frac{1}{\sin{x}}$.
Exercice 9640. Pour quelles valeurs de $a \in ]-\pi,\pi[$, l'équation \[ x^2-2x \sin{a} + \cos^2{a} = 0 \] admet-elle deux solutions distinctes ? \\ Quel est le signe de chacune de ces deux solutions ?
Exercice 9641. Pour quelles valeurs de $a \in ]- \ps{2}, \ps{2}[$, a-t-on \[ \forall x \in \R, \: x^2+x+\tan{a} > \Frac{3}{4} \: ? \]
Exercice 9642. Résoudre dans $\R$ les équations suivantes :
  • $2 \sin(x+ \ps{4}) + \cos(x- \ps{4}) = \Frac{3\sqrt{2}}{2}$.
  • $\tan{x} \tan(2x+\ps{4}) = 1$.
Exercice 9643. Résoudre dans l'intervalle $]-\pi,\pi[$ l'inéquation \[ \sqrt{3} \tan^2{x} + 2 \tan{x} - \sqrt{3} < 0 \]