Primitives

Exercice 348. Soit $g(x) = \Frac{2\ln{x}}{x}$. \\ \\ Montrer que $f : x \mapsto [\ln{x}]^2$ est une primitive de $g$ sur $\Rpe$.
Exercice 349. Soit $a$ un réel strictement positif et $f$ définie sur $\Rpe$ par $f(x) = a\ln(x)$.\\ Montrer que $F(x)=a[x\ln{x}-x]$ est une primitive de $f$ sur $\Rpe$.
Exercice 350. Soit $f$ définie sur $\Rp$ par $f(x) = ke^{-kx}$ avec $k$ un nombre réel strictement positif. \\ Déterminer une primitive de $f$ sur $\Rp$.
Exercice 351. Déterminer les primitives $F$ sur $\Rpe$ de la fonction $f(x) = \Frac{1}{x^2} \exp{\Frac{1}{x}}$.
Exercice 352. Soit $p$ définie sur $\Rp$ par $p(x) = \Frac{1}{1+e^{-0,2x}}$. \\ Après avoir vérifié que pour tout $x \in \Rp$, $p(x) = \Frac{e^{0,2x}}{e^{0,2x}+1}$, déterminer une primitive de $p$ sur $\Rp$.
Exercice 353. Déterminer les primitives $F$ sur $\R$ de la fonction $f(x) = 2x(x^2+1)^4$.
Exercice 354. Déterminer les primitives $F$ sur $]1,+\infty[$ de la fonction $f(x) = \Frac{x}{(x^2-1)^3}$.
Exercice 355. Déterminer les primitives $F$ sur $[0,\frac{\pi}{2}[$ de la fonction $f(x) = \Frac{\sin{x}}{\sqrt{\cos{x}}}$.
Exercice 356. Soit $f(x)= \Frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$.\\ Déterminer la primitive de $f$ qui s'annule en $0$.
Exercice 357. Déterminer les primitives $F$ de la fonction $f(x) = \Frac{1}{ax+b}$.\\ avec $a \in \R^*$ et $b \in \R$ tels que $ax+b > 0$.
Exercice 358. Soit $f(x) = e^{2x}\sin{x}$. \\ Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que $f(x) = af'(x)+bf''(x)$ puis en déduire toutes les primitives de $f$ sur $\R$.
Exercice 359.
  1. Montrer que $F(x) = \Frac{2}{3}x \sqrt{x}$ est une primitive de la fonction racine carrée. \\
  2. En déduire toutes les primitives $\displaystyle \integrale{}{}{\Frac{x-1}{\sqrt{x}}}{x}$.
Exercice 360. $f$ et $g$ sont les fonctions définies sur $\R$ par \[ f(x) = e^{-x^2} \quad g(x) = x^2e^{-x^2} \] $F$ et $G$ sont les primitives respectives des fonctions $f$ et $g$ s'annulant en 0. \\ Démontrer que pour tout réel $x$, $G(x) = \Frac{1}{2}\parenthese{F(x)-xe^{-x^2}}$.
Exercice 361. Déterminer $a$, $b$ et $c \in \R$ pour que $F(x) = (ax^2+bx+c)e^{2x}$ soit une primitive de $f(x) = 4x^2e^{2x}$.
Exercice 362. Soit $f$ définie par $f(x) = (\sin^2{x}-3\sin{x}+8)\cos{x}$. \\ Déterminer une primitive de $f$.

Exercice 363. Primitives et logarithme

Déterminer les primitives sur $\Rpe$ des fonctions suivantes : \\
  1. $f(x) = \Frac{1}{x\ln{x}}$. \\
  2. $g(x) = \Frac{\ln{x}}{x}$.

Exercice 364. Décomposition en éléments simples

\\ Soit $g$ la fonction définie sur $]1,+\infty[$ par $ g(x) = \Frac{1}{x(x^2-1)}$.\\
  1. Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ tels que pour $x > 1$, $g(x) = \Frac{a}{x} + \Frac{b}{x+1} + \Frac{c}{x-1}$. \\
  2. Trouver une primitive $G$ de $g$ sur $]1,+\infty[$.

Exercice 365. Décomposition en éléments simples n°2

\\ Soit $f(x) = \Frac{1}{x(x+1)(x+2)}$. \\ Montrer que l'on peut trouver trois réels $a$, $b$ et $c$ tels que $f(x) = \Frac{a}{x}+\Frac{b}{x+1}+\Frac{c}{x+2}$ puis en déduire la primitive $F$ de $f$ telle quxe $F(1)=0$.

Exercice 366. Décomposition en éléments simples n°3

\\ Soit $f$ définie par $f(t)=\Frac{1}{t(t+1)^2}$. \\
  1. Montrer qu'il existe des réels $a$, $b$ et $c$ tels que $f(t)= \Frac{a}{(t+1)^2}+\Frac{b}{t+1}+\Frac{c}{t}$ pour tout $t \neq 0$, $t \neq -1$. \\
  2. Pour $0 < x < y$, on pose $A(x,y) = \integrale{x}{y}{f(t)}{t}$. \\ Montrer que $A(x,y) = \Frac{x-y}{(x+1)(y+1)}+\ln\parenthese{\Frac{y(x+1)}{x(y+1)}}$.