Exercices divers

Exercice 8549. $(u_n)$ est la suite de nombres réels strictement positifs définie par $u_0 = 2$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$ : \[ u_{n+1} = \frac{u_n}{u_n+1} \] $(v_n)$ est la suite définie sur $\mathbb{N}$ par $v_n = \dfrac{1}{u_n}$.
  1. Démontrer par récurrence que tous les termes de la suite $(u_n)$ sont strictement positifs. Expliquer alors pourquoi les termes $v_n$ sont définis pour tout $n$.
  2. Calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$, $u_4$ puis $v_1$, $v_2$, $v_3$, $v_4$.
  3. Démontrer que $(v_n)$ est une suite arithmétique.
  4. Pour tout $n \in \mathbb{N}$, exprimer :
    1. $v_n$ en fonction de $n$
    2. $u_n$ en fonction de $n$
Exercice 8553. La suite $(u_n)$ est définie sur $\mathbb{N}^*$ par $u_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}$.
    1. Démontrer que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $\dfrac{1}{2\sqrt{n+1}} \leq u_n \leq \dfrac{1}{2\sqrt{n}}$.
    2. Quelle est la limite de $(u_n)$ ?
  2. La suite $(v_n)$ est définie par $v_n = \dfrac{u_1 + u_2 + \cdots + u_n}{\sqrt{n}}$. Quelle est la limite de $(v_n)$ ?
Exercice 9204.
  1. Soit $x$ et $y$ deux réels positifs ou nuls.
    1. Développer $(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2$.
    2. En déduire que $\sqrt{xy} \leqslant \frac{x+y}{2}$.
  2. On considère deux suites $\un$ et $\vn$ définies par $u_0 = 1$ et pour tout entier naturel $n$, \[ u_{n+1} = \Frac{ u_n+v_n}{2} \text{ et } v_{n+1} = \sqrt{u_nv_n} \]
    1. Calculer les valeurs exactes de $u_1$, $u_2$, $v_1$ et $v_2$.
    2. Démontrer que pour tout entier $n\geqslant 1$, $v_n \leqslant u_n$.
    3. Montrer que $\un$ et $\vn$ sont monotones à partir du rang 1.
Exercice 9205. soit $f$ la fonction définie sur $\Rp$ par \[ f(x) = \sqrt{x+1}-\sqrt{x} \] On considère la suite $\un$ définie sur $\N$ par \[ u_n = f(n) = \sqrt{n+1}-\sqrt{n} \]
  1. Déterminer les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $\Rp$.
  2. En déduire le sens de variations de la suite $\un$.
  3. Justifier que cette suite est majorée par un réel que l'on précisera.
  4. Pour tout entier naturel $n$, calculer la somme \[ S_n = u_0 + u_1 + \hdots + u_n = \sum_{k=0}^{n} u_k \]
  5. Quelles sont les limites des suites $\un$ et $(S_n)$ ?
Exercice 9206. On considère la suite $(s_n)$ définie sur $\N^*$ par \[ s_n = n + (n+1) + (n+2) + \hdots + (2n) \]
  1. Déterminer $s_1$ et $s_2$.
  2. Montrer que pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, $s_{n+1} = s_n + 3(n+1)$.
  3. Proposer un algorithme qui restitue un terme quelconque de cette suite.
  4. Montrer que, pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, \[ s_n = \Frac{3}{2}n(n+1) \] En déduire un algorithme qui restitue un seuil $N$ tel que, pour tout entier naturel $n \geqslant N$, $s_n > 10^{P}$.
Exercice 9207. Soit la suite $\un$ définie sur $\N^*$ par son premier terme $u_1 = \Frac{1}{2}$ et par la relation de récurrence \[ u_{n+1} = \Frac{n+1}{2n}u_n \]
  1. Justifier que, pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, $u_n > 0$.
  2. Quel est le sens de variations de cette suite ?
  3. Pour tout entier $n \geqslant 1$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
Exercice 9289. Soient $\un$ et $\vn$ les suites définies par $u_0 = 0$, $v_0 = 2$ et pour tout entier $n \in \N$, \[ \begin{cases} u_{n+1} = \Frac{3u_n+1}{4} \\ v_{n+1} =\Frac{3v_n+1}{4} \end{cases} \] \\
  1. Calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$ puis $v_1$, $v_2$, $v_3$. \\
  2. On considère la suite $(s_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par \[ s_n = u_n + v_n \] \\ Montrer par récurrence que $(s_n)$ est une suite constante. \\
  3. On considère la suite $(d_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par \[ d_n = v_n-u_n \] \\ Montrer que $(d_n)$ est une suite géométrique. Donner l'expression de $d_n$ en fonction de $n$. \\
  4. Déterminer l'expression de $u_n$ et $v_n$ en fonction de $n$.
Exercice 8548. Soit $(u_n)_{n \geq 1}$ et $(v_n)_{n \geq 1}$ deux suites réelles définies par : \[ \begin{cases} u_1 = 12 \; \text{ et } \; v_1 = 1 \\ \forall n \in \mathbb{N}^*, \quad u_{n+1} = \dfrac{u_n + 2v_n}{3} \quad \text{et} \quad v_{n+1} = \dfrac{u_n + 3v_n}{4} \end{cases} \]
  1. Pour tout entier naturel non nul $n$, on pose $w_n = v_n - u_n$.
    1. Démontrer que la suite $(w_n)_{n \geq 1}$ est géométrique puis exprimer $w_n$ en fonction de $n$.
    2. En déduire que $(w_n)_{n \geq 1}$ est convergente puis déterminer sa limite.
  2. Pour tout entier naturel non nul $n$, on pose $x_n = 8v_n + 3u_n$. Démontrer que $(x_n)_{n \geq 1}$ est constante.
  3. En déduire les expressions respectives de $u_n$ et $v_n$ en fonction de $n$.
  4. Montrer que $(u_n)_{n \geq 1}$ et $(v_n)_{n \geq 1}$ convergent vers une même limite que l'on explicitera.
Exercice 8550. On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = \dfrac{u_n+8}{2u_n+1}$.
  1. Calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$.
  2. Représenter graphiquement les premiers termes de la suite (méthode de représentation graphique des suites définies par récurrence). Quelle conjecture peut-on faire ?
  3. Montrer que pour tout entier naturel $n$, $u_n \geq 0$.
  4. Soit $(v_n)$ définie par $v_n = \dfrac{u_n-2}{u_n+2}$. Montrer que $(v_n)$ est géométrique et donner son premier terme et sa raison.
  5. En déduire l'expression de $v_n$ en fonction de $n$.
  6. Prouver que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $v_n - 1 \neq 0$.
  7. Exprimer $u_n$ en fonction de $v_n$.
  8. En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$ et sa limite éventuelle.
Exercice 8552. Soit $a$ un nombre réel tel que $-1 < a < 0$. On considère la suite $u$ définie par $u_0 = a$ et pour tout entier naturel $n$ : \[ u_{n+1} = u_n^2 + u_n \]
  1. Étudier la monotonie de la suite $u$.
    1. Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x) = x^2 + x$. Étudier le sens de variation de $h$. En déduire que pour tout $x \in \; ]-1 \; ; \; 0[$, $h(x) \in \; ]-1 \; ; \; 0[$.
    2. Démontrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $-1 < u_n < 0$.
  3. Étudier la convergence de la suite $u$. Déterminer, si elle existe, sa limite.
Exercice 8554. Soient deux suites $(d_n)$ et $(a_n)$ définies par $d_0 = 300$, $a_0 = 450$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$ : \[ \begin{cases} d_{n+1} = \dfrac{1}{2}d_n + 100 \\ a_{n+1} = \dfrac{1}{2}d_n + \dfrac{1}{2}a_n + 70 \end{cases} \]
  1. Calculer $d_1$, $d_2$, $a_1$ et $a_2$.
  2. Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on pose $c_n = d_n - 200$. Démontrer que $(c_n)$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$.
  3. Démontrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $a_n = 100n\left(\dfrac{1}{2}\right)^n + 110\left(\dfrac{1}{2}\right)^n + 340$.
    1. Montrer que pour tout entier $n \geq 3$ : $2^n \geq (n+1)^2$.
    2. Démontrer par récurrence que pour tout entier $n \geq 4$ : $2^n \geq n^2$.
    3. En déduire que pour tout entier $n \geq 4$ : $0 \leq 100n\left(\dfrac{1}{2}\right)^n \leq \dfrac{100}{n}$.
  5. Étudier la convergence de la suite $(a_n)$.
Exercice 8551. On considère la suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par $u_0 = -1$, $u_1 = \dfrac{1}{2}$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$ : \[ u_{n+2} = u_{n+1} - \frac{1}{4}u_n \]
  1. Calculer $u_2$ et en déduire que la suite $(u_n)$ n'est ni arithmétique ni géométrique.
  2. On définit la suite $(v_n)$ en posant pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $v_n = u_{n+1} - \dfrac{1}{2}u_n$.
    1. Calculer $v_0$.
    2. Exprimer $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$.
    3. En déduire que $(v_n)$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$.
    4. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
  3. On définit la suite $(w_n)$ en posant pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $w_n = \dfrac{u_n}{v_n}$.
    1. Calculer $w_0$.
    2. En utilisant l'égalité $u_{n+1} = v_n + \dfrac{1}{2}u_n$, exprimer $w_{n+1}$ en fonction de $u_n$ et $v_n$.
    3. En déduire que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $w_{n+1} = w_n + 2$.
    4. Exprimer $w_n$ en fonction de $n$.
  4. Montrer que pour tout entier naturel $n$ : $u_n = \dfrac{2n-1}{2^n}$.
  5. Pour tout entier naturel $n$, on pose $S_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} u_k$. Démontrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $S_n = 2 - \dfrac{2n+3}{2^n}$.
  6. Démontrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$ : \[ 2 - \frac{5}{1{,}5^n} \leq 2 - \frac{2n+3}{2^n} \leq 2 - \frac{3}{2^n} \] En déduire la limite de la suite $(S_n)$.