Sens de variations

Exercice 9197. Dans chaque cas, étudier la monotonie de la suite $(u_n)$.
  • $u_n = 2n^2-n \quad$ \\
  • $u_n = \Frac{n+3}{2n+1} \quad$ \\
  • $u_n = (n-5)^2, \, n\geqslant 5 \quad$ \\
  • $u_0 =2$ et $u_{n+1} = u_n -n$ \\
  • $u_n = \Frac{2^{3n}}{3^{2n}} \quad$ \\
  • $u_n = \Frac{2^n}{n}, \, n \geqslant 1$
Exercice 9199. $(u_n)$ est la suite définie pour tout entier $n \geqslant 1$ par \[u_n = \Frac{1}{n} - \Frac{1}{n+1}\]
  1. Démontrer que tous les termes de la suite sont strictement positifs.
  2. Montrer que $\forall n \in \N, \; \Frac{u_{n+1}}{u_n} = \Frac{n}{n+2}$.
  3. En déduire le sens de variation de $(u_n)$.
Exercice 9198. Soit la suite $(w_n)$ définie par $w_0 = 3$ et $w_{n+1} = w_n - (n-3)^2$.
  1. Déterminer, sans calculatrice, les quatre premiers termes.
  2. Conjecturer le sens de variation de la suite.
  3. Démontrer alors votre conjecture.
Exercice 9200. On considère les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies par \[ u_n = 5\sqrt{n}-3 \quad \text{ et } v_n = \frac{-2}{n+1} + 1 \]
  1. Calculer les deux premiers termes de chaque suite. \\
  2. Calculer le quinzième terme de chaque suite. \\
  3. Etudier le sens de variation des suites $(u_n)$ et $(v_n)$.
Exercice 9201. On considère les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies par \[ \begin{cases} u_0 = 1 \\ u_{n+1} =-u_{n}^2 + u_n -1 \end{cases} \quad \text{ et } \quad \begin{cases} v_1 = 5 \\ v_{n+1} = v_n + \Frac{2}{n} \end{cases} \]
  1. Calculer les quatre premiers termes de ces deux suites.
  2. Représenter graphiquement ces quatre premiers termes sur un même graphique.
  3. A l'aide de la calculatrice, calculer $u_{10}$ et $v_{10}$ (on pourra donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près).
  4. Etudier le sens de variation des suites $(u_n)$ et $(v_n)$.
Exercice 9202. On considère deux suites $(a_n)$ et $(b_n)$ définies par \[ \begin{cases} a_0 = 1 \\ \text{Pour tout }n \in \N, \, a_{n+1} = \Frac{3a_n + 2b_n}{5} \end{cases} \; \text{ et } \; \begin{cases} b_0 = 2 \\ \text{Pour tout $n \in \N$}, \, b_{n+1} = \Frac{2a_n+3b_n}{5} \end{cases} \]
  1. Calculer $a_1$, $b_1$, $a_2$ et $b_2$.
  2. On pose, pour tout $n \in \N$, $s_n = a_n + b_n$. Montrer que la suite $(s_n)$ est constante.
  3. En déduire que pour tout $n \in \N$, $b_n = 3-a_n$.
Exercice 9203. On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 0$ , $u_1=1$ et pour tout $n \in \N$, \[ u_{n+2} = 2u_{n+1} - u_n \]
    1. Calculer $u_2$, $u_3$ et $u_4$.
    2. Quelle conjecture peut-on faire ?
  2. On pose pour tout $n \in \N$, $d = u_{n+1} - u_n$.
    1. Montrer que $(d_n)$ est constante.
    2. En déduire que pour tout $n \in N$, $u_{n+1} = u_n + 1$.
    3. En déduire une démonstration de la conjecture faite en question 1.b).