Exercices divers

Exercice 9392. Soit $n \in \N^*$. Calculer le maximum de la fonction $f_n$ définie sur $\R^+$ par \[ \forall x \in \R^+, \quad f_n(x) = x^ne^{-x} \]
Exercice 9393. Soit $c$ et $s$ deux fonctions définies sur $\R$ par \[ c(x) = \Frac{e^x+e^{-x}}{2} \quad \text{ et } \quad s(x) = \Frac{e^{x}-e^{-x}}{2} \]
  1. Quelle est la parité de chacune de ces deux fonctions ?
  2. Pour tout réel $x$, calculer $(c(x))^2-(s(x))^2$.
  3. Justifier que, pour tout réel $x$, \[ c(2x)=(c(x))^2+(s(x))^2 \quad \text{ et } \quad s(2x) = 2c(x)s(x) \]
Exercice 9394. Soit $\un$ une suite arithmétique de premier terme $u_0$ et de raison $r$ non nulle. Pour tout entier naturel $n$, on pose $v_n = e^{-u_n}$.
  1. Quelle est la nature de la suite $(v_n)$ ?
  2. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, \[ s_n = v_0 + v_1 + \hdots + v_n = v_n \Frac{ e^{(n+1)r}-1}{e^r-1}\]
Exercice 9395.
  1. Soit $x_0$ un réel quelconque. \\ On désigne par $\mathscr{C}$ la représentation graphique de la fonction $\exp$ et par $M_0$ un point quelconque de cette courbe d'abscisse $x_0$. \\ Montrer que la tangente à $\mathscr{C}$ au point $M_0$ coupe la droite des abscisses en un point $M_1$ d'abscisse $x_1 = x_0-1$.
  2. Réciproquement, on considère une fonction $f$ dérivable et croissante strictement sur $\R$. \\ On suppose que la tangente au point $M_0$ d'abscisse $x_0$ à la courbe $\Cf$ coupe la droite des abscisses en un point $M_1$ d'abscisse $x_1 = x_0 - 1$. \\ Montrer que $f' = f$. \\ Si de plus, $f(0) = 1$, conclure.
Exercice 9396. Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = \Frac{e^x}{e^x+1}$. \\ On désigne par $\Cf$ la représentation graphique de $f$ relativement à un repère orthonormal du plan. \\ On rappelle qu'un point $\Omega(a,b)$ est un centre de symétrie de la courbe $\Cf$ si et seulement si \[ \forall x \in \R^*, a-x \in \mathscr{D}_f \text{ et } a+x \in \mathscr{D}_f \] \[ \forall x \in \R^*, \: f(a-x) + f(a+x) = 2b \]
  1. Montrer que le point $A\parenthese{0,\Frac{1}{2}}$ est un centre de symétrie pour la courbe $\Cf$.
  2. Déterminer une équation de la tangente $(T)$ à $\Cf$ au point $A$. \\ Etudier la position de $\Cf$ par rapport à la droite $(T)$.
Exercice 9397. Soient $a$ et $b$ deux réels. \\ Comparer les réels $\Frac{e^{a} + e^{b}}{2}$ et $e^{ \frac{a+b}{2}}$.
Exercice 9398. \\
  1. Démontrer que \[ \limz \Frac{e^x-1}{x} = 1\]
  2. En utilisant le résultat de 1., déterminer les limites :
    • de la fonction $f$ : $x \mapsto \Frac{e^{2x}-1}{x}$, en 0,
    • de la suite $\un$ définie sur $\N^*$ par, $u_n = n(e^{\frac{1}{n}}-1)$.
Exercice 9399.
  1. Démontrer que, pour tout réel $x \geqslant 0$, $e^x > x$. \\ En déduire \[ \forall x \in \R^+, \quad e^x > \Frac{x^2}{2} \]
  2. Quelle est la limite en $+ \infty$ de la suite $\un$ définie sur $\N^*$ par \[ u_n = \Frac{e^n}{n} \; ? \]
  3. Une application. Quelle est la limite en $+\infty$ de la suite $\vn$ définie sur $\N^*$ par \[ v_n = ne^{1-n} \; ? \]
Exercice 9400.
  1. Démontrer que, pour tout réel $x \geqslant 0$, $e^x > x$. \\ En déduire \[ \forall x \in \R^+, \quad e^x > \Frac{x^2}{2} \]
  2. Quelle est la limite en $+ \infty$ de la suite $\un$ définie sur $\N^*$ par \[ u_n = \Frac{e^n}{n} \; ? \]
  3. Une application. Quelle est la limite en $+\infty$ de la suite $\vn$ définie sur $\N^*$ par \[ v_n = ne^{1-n} \; ? \]
Exercice 9401.
  1. Montrer que, pour tout réel $x$, $1+x \leqslant e^x$.\\ Pour quelles valeurs de $x$ cette inégalité est-elle stricte ?
  2. Justifier que, pour tout réel $x \in ]-\infty,1[$, $e^x \leqslant \Frac{1}{1-x}$. \\ Pour quelles valeurs de $x$ cette inégalité est-elle stricte ?
  3. En déduire que, pour tout $n \in \N^*$, nous avons \[ \parenthese{1+\Frac{1}{n}}^n < e < \parenthese{1+\Frac{1}{n}}^{n+1} \]
  4. Pour tout $n \in \N^*$, nous posons $u_n = \parenthese{1 + \Frac{1}{n}}^n$. \\ Montrer que \[ 0 < e-u_n < \Frac{3}{n} \] En déduire la limite de la suite $\un$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
  5. Proposer un script Python qui restitue un seuil $n$ à partir duquel \[ e-u_n < 10^{-p} \] l'entier naturel $p$ étant choisi par l'utilisateur. \\ Déterminer les valeurs du seuil lorsque $p \in \{1,2,3,4\}$.
Exercice 9402. On considère les fonctions définies sur $\R$ pour tout entier $n > 0$ par \[ f_n(x) = e^x-nx\] On note $\mathscr{C}_n$ leurs courbes représentatives dans un repère.
  1. Déterminer l'expression de $f_1(x)$, $f_2(x)$ et $f_3(x)$ et les tracer sur la calculatrice.
  2. Déterminer le tableau de variation de $f_1$ et en déduire l'abscisse de son minimum.
  3. Pour $n > 1$ fixé, déterminer la dérivée de $f_n$.
  4. Pour $n > 1$ fixé, déterminer l'image de 0 par $f'_n$ ainsi que la limite de $f'_n(x)$ quand $x$ tend vers $+\infty$.
    1. En déduire que pour tout entier $n > 1$, il existe un réel positif $a_n$ tel que $f_n(a_n)$ soit le minimum de $f_n$ sur $\R$.
    2. Montrer que $f_n(a_n) = n(1-a_n)$.
    1. A l'aide de la calculatrice, donner une valeur approchée à $10^{-3}$ de $a_2$ et $a_3$ et conjecturer le sens de variation de la suite $(a_n)$ (on considère que $a_1=0$).
    2. Le prouver.
    1. A l'aide des représentations graphiques de la calculatrice, conjecturer le sens de variation de la suite $(f_n(a_n))$.
    2. Le prouver
  7. Montrer que pour tous entiers strictement positifs $n$ et $m$, $a_{nm} = a_n + a_m$.