Dérivations et étude

Exercice 9370. $f$ est la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = 1,5e^{1,6x}$.
  1. Etudier le sens de variation de la fonction $f$.
  2. Déterminer le signe de $f(x)$ sur $\R$.
Exercice 9371. $g$ est la fonction définie sur $\R$ par $g(t) = 0,2e^{-t} -2$. \\ $\mathscr{C}$ est la courbe représentative de $g$ dans un repère.
  1. Etudier le sens de variation de la fonction $g$ sur $\R$.
  2. Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathscr{C}$ au point d'abscisse 0.
  3. Tracer dans un même repère, la tangente $T$ et la courbe $\mathscr{C}$.
Exercice 9372. Déterminer les variations de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = (6x-2)e^{x}$.
Exercice 9373. $g$ est la fonction définie sur l'intervalle $[1,3]$ par $g(t) = \Frac{e^{t}}{2t}$. \\ Dresser le tableau de variations de $g$.
Exercice 9374. $h$ est la fonction définie sur $\R$ par $h(x) = \Frac{x^2+2x}{e^x}$. \\ Dresser le tableau de variations de $h$.
Exercice 9377. Montrer que la suite $\un$ définie par $u_n = 20 \times e^{-0,5n}$ est géométrique et préciser son sens de variation.
Exercice 9375. Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = (x+1)e^x$.
  1. Dresser le tableau de variations de $f$.
  2. Déterminer une équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse 0.
  3. Tracer la courbe représentative de la fonction $f$ en s'aidant de la calculatrice.
Exercice 9376.
  1. Déterminer une expression en fonction de $n$ de la suite géométrique de raison $\frac{1}{e}$ et de premier terme 3.
  2. Donner les variations de cette suite.
Exercice 9378. $(v_n)$ est la suite définie, pour tout entier naturel $n$ par \[v_n = \Frac{1}{3} e^{5-0,6n} \] La suite $(v_n)$ est-elle géométrique ? Justifier.
Exercice 9379. $\un$ est la suite définie pour tout entier $n$ par $u_n = 2 \Frac{e^{2,8n}}{e^{0,8n-1}}$. \\ Démontrer que $\un$ est géométrique. Préciser son premier terme et sa raison.
Exercice 9381. La fonction $f$ est définie par $f(x) = 3xe^{2x}$. \\ On note $\Cf$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal.
  1. Dresser le tableau de variation de $f$ sur $\R$.
  2. Déterminer l'équation réduite de la tangente $T$ à la courbe $\Cf$ au point $A$ d'abscisse 0.
  3. Montrer que $\Cf$ ne coupe l'axe des abscisses qu'au point $A$.
Exercice 9382. $f$ est la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = \Frac{2e^x-3}{e^x+1}$.
  1. Etudier les variations de $f$.
  2. Montrer que, pour tout $x \in \R$, $-3 < f(x) < 2$.
  3. Déterminer l'équation de la tangente $(T)$ au point d'abscisse 0.
Exercice 9383. temp
Exercice 9384. $f$ est la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = e^{-x^2}$.
  1. Calculer $f(-x)$. Que peut-on conclure pour $\Cf$ ?
  2. Dresser le tableau de variation de $f$ sur $\R$.
  3. Tracer la courbe $\Cf$ pour $x \in [-2,2]$ dans un repère orthonormal.\\ Unité graphique : 2cm sur les deux axes. \\
Exercice 9385.
  1. Soit $f$ la fonction définie sur $[-2,1]$ par $f(x) = (1-2x)e^x$.
    1. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[-2,1]$.
    2. L'équation $f(x)=2$ admet-elle des solutions ? Justifier.
  2. Soit la fonction $g$ définie sur $[-2,4]$ par : $f(x) = x^2e^{-x}$. Dresser le tableau de variations de $g$ sur $[-2,4]$.
Exercice 9386. Soit $f$ définie par $f(x) = (x^2-1)e^{-x}$.
  1. Dresser le tableau de variation de $f$.
  2. Déterminer l'équation réduite de la tangente $T$ à la courbe $\Cf$ au point $A$ d'abscisse 0.
  3. Déterminer par le calcul, les abscisses des points d'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses.
Exercice 9387. temp
Exercice 9388. Soit $g(x) = x+2-e^x$.
  1. Déterminer le sens de variation de $g$ sur $\Rp$.
  2. Montrer que pour $f(x) = \Frac{e^x-1}{xe^x+1}$, sa dérivée peut s'exprimer en fonction de $g(x)$.
Exercice 9389. Soit $g(x) = e^x(x-1)+x^2$ une fonction définie sur $\R$.
  1. Dresser le tableau de variations de $g$ sur $\R$. On pose $f(x) = \Frac{e^x}{e^x+x}$.
  2. Montrer que les équations $f(x) =x$ et $g(x) = 0$ sont équivalentes.
Exercice 9390. $a$ et $b$ désignent deux nombres réels. \\ $f$ et $g$ sont les fonctions définies sur $\R$ par $f(t) = e^{at}$ et $g(t) = e^{bt}$. \\ $\Cf$ et $\Cg$ sont les courbes représentatives de ces deux fonctions dans un repère. \\ Etudier la position relative des courbes $\Cf$ et $\Cg$ suivant les valeurs de $a$ et $b$.
Exercice 9391. La fonction $f$ est définie et dérivable sur $\R$ par \[f(x) = x-1-e^x\] On note $\Cf$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal.
  1. Calculer la dérivée de $f$ et dresser son tableau de variation.
  2. Soit $g(x) = x-1$ et $h(x) = e^x$. Déterminer la position relative de la courbe $\mathscr{C}_h$ et $\Cg$.
Exercice 9380. $f$ est la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = \Frac{x+1}{e^x}$ et $\Cf$ sa courbe représentative.
  1. Etudier les variations de $f$ sur $\R$.
  2. Déterminer les coordonnées du point $A$, intersection entre $\Cf$ et l'axe des abscisses.
  3. Déterminer une équation de $T$, la tangente à la courbe $\Cf$ au point $A$.
Exercice 8575. On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x\mathrm{e}^{x-1}+1$. On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative. Partie A : étude de la fonction.
  1. Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$. Que peut-on en déduire pour $\mathcal{C}$ ?
  2. Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
  3. Montrer que pour tout réel $x$, $f'(x) = (x+1)\mathrm{e}^{x-1}$.
  4. Étudier les variations de $f$ sur $\mathbb{R}$ et dresser son tableau de variation.
Partie B : recherche d'une tangente particulière.\\ Soit $a > 0$. On cherche si la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $a$ passe par l'origine.
  1. Donner une équation de la tangente $T_a$ à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $a$.
  2. Démontrer qu'une telle tangente passe par l'origine si et seulement si $a$ vérifie $1-a^2\mathrm{e}^{a-1} = 0$.
  3. Démontrer que $1$ est l'unique solution de $1-x^2\mathrm{e}^{x-1} = 0$ sur $]0 \; ; \; +\infty[$.
  4. Donner une équation de la tangente recherchée.