Exercices divers

Exercice 8562. Déterminer, si elle existe, la limite des fonctions ci-dessous lorsque $x$ tend vers la valeur $a$ indiquée :
  1. $\dfrac{2x-3}{(4x+1)(x+5)}$ en $a = -\infty$
  2. $\dfrac{3x^2-11x+4}{x^2+4x+4}$ en $a = -2$
  3. $\dfrac{\mathrm{e}^{2x-6}}{4x+5}$ en $a = 3$
  4. $\cos\!\left(\dfrac{2x^2+x+\pi-3}{4x-1}\right)$ en $a = 1$
  5. $\sin(2x+7)$ en $a = -\infty$
Exercice 8564. Déterminer les limites en $a$ des fonctions suivantes. Préciser si la courbe admet une asymptote verticale en $a$. \[ f_1(x) = \frac{3x-4}{x^2} \; \text{ en } a = 0 \quad f_2(x) = \frac{3x^2-3x-2}{(x-2)^3} \; \text{ en } a = 2 \] \[ f_3(x) = \frac{2\exp\!\left(\frac{x}{3}\right)}{1-\mathrm{e}^x} \; \text{ en } a = 0 \quad f_4(x) = \frac{\sqrt{x+1}-2}{x-3} \; \text{ en } a = 3 \] \[ f_5(x) = \frac{\mathrm{e}^x-1}{2-\sqrt{\mathrm{e}^x+3}} \; \text{ en } a = 0 \quad f_6(x) = \exp\!\left(\frac{2}{x^2-1}\right) \; \text{ en } a = 1 \]
Exercice 8565. On considère trois fonctions $f$, $g$ et $h$ définies sur $\mathbb{R}$, avec : \[ \lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty \quad \lim_{x \to -\infty} g(x) = 0 \quad \lim_{x \to -\infty} h(x) = +\infty \] \[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = 0 \quad \lim_{x \to +\infty} g(x) = 0 \quad \lim_{x \to +\infty} h(x) = -\infty \] Déterminer, lorsque c'est possible, les limites en $\pm\infty$ des fonctions suivantes. On notera FI s'il s'agit d'une forme indéterminée. \[ f+g \; ; \quad h-f \; ; \quad f \cdot g \; ; \quad f \cdot h \; ; \quad g+h \; ; \quad \frac{f}{g} \; ; \quad \frac{f}{h} \; ; \quad \frac{h}{g} \; ; \quad \frac{f+g}{h} \; ; \quad \frac{h+g}{f} \]
Exercice 9354. Une entreprise fabrique des composants pour ordinateur. Pour une quantité $x$, exprimée en millier de composants, le coût total en milliers d'euros est : \[ C(x) = 0,2x^2 + 24x + 20 \]avec $x \in [0,30]$. \\ La recette est alors égale à $R(x) = 30x$. \\ Le bénéfice est la différence entre la recette et le coût total. \\ Déterminer le bénéfice maximal et le nombre de composants correspondants à produire.
Exercice 9355. Une entreprise fabrique des objets dont le coût de production s'exprime en fonction de la quantité $q$ par \[ C(q) = q^3 - 450q^2 + 3\,000q + 10\,000 \] Le coût marginal pour une quantité $q$ produite est égal au coût de fabrication d'une unité supplémentaire : \[ C_m(q) = C(q+1)-C(q) \]
  1. Calculer le coût marginal $C_m(q)$.
  2. Calculer $C'(q)$.
    1. Calculer $E(q) = C'(q)-C_m(q)$. \\ $E(q)$ représente l'erreur commise lorsqu'on assimile le coût marginal $C_m(q)$ à $C'(q)$.
    2. A partir de combien d'unité produites cette erreur est-elle inférieure à 0,01 ?
Exercice 8561. Déterminer, si elle existe, la limite des fonctions ci-dessous lorsque $x$ tend vers la valeur $a$ indiquée. On distinguera éventuellement la limite à gauche et la limite à droite.
  1. $\dfrac{x^3-1}{x^2-1}$ en $a = 1$
  2. $\dfrac{x^3+27}{3x+9}$ en $a = -3$
  3. $\dfrac{x^2-5x+6}{x^2-x-2}$ en $a = 2$
  4. $\dfrac{2x}{x^2-x+1} + \dfrac{1}{x^2-3x+2}$ en $a = 1$
  5. $\dfrac{3x^2-2mx-m^2}{2x^2-3mx+m^2}$ avec $m \in \mathbb{R}$ en $a = m$
  6. $\dfrac{x-3}{x-1-\sqrt{x+1}}$ en $a = 3$
  7. $\dfrac{x-4}{\sqrt{x^2-7}-\sqrt{2x+1}}$ en $a = 4$
  8. $\dfrac{\sqrt{x^2-|x|}}{x}$ en $a = 0$
  9. $\dfrac{\sqrt{3x^2}-2x^2}{5\sqrt{x^2}+x^2}$ en $a = 0$
Exercice 8563. Déterminer les limites en $+\infty$ et $-\infty$ des fonctions ci-dessous. Préciser si la courbe représentative admet une asymptote horizontale. \[ f_1(x) = \frac{2x^4-5x+1}{x^3+x^2+6} \quad f_2(x) = \frac{2x^2-x}{6x^2+7x} \quad f_3(x) = \frac{1-2x^5}{2x^8-x+12} \] \[ f_4(x) = \sqrt{2x^2+1}-x \quad f_5(x) = \frac{5x+1}{\sqrt{x^2+x+1}} \quad f_6(x) = \frac{1-\mathrm{e}^{3x}}{3+2\mathrm{e}^{3x}} \] \[ f_7(x) = \sqrt{x^2+1}-x \quad f_8(x) = \frac{3x^2-2x-m^2}{(m-2)x^2-3mx+m^2} \quad (m \in \mathbb{R}) \]
Exercice 8566. Soit $f : x \longmapsto \dfrac{\mathrm{e}^x}{\mathrm{e}^x - x}$.
  1. Montrer que $\mathcal{D}_f = \mathbb{R}$.
  2. Déterminer les limites de $f$ en $-\infty$ et $+\infty$. Donner les asymptotes éventuelles.
  3. Étudier les variations de $f$ puis dresser son tableau de variation.
Exercice 8571. Deux fonctions $f$ et $g$ définies sur $[-1 \; ; \; 4]$ sont représentées graphiquement.
  1. Déterminer $g \circ f(0)$, $g \circ f(3)$, $f \circ g(0)$ et $f \circ g(2)$.
  2. Déterminer les variations de $g \circ f$ sur $[-1 \; ; \; 4]$.
Exercice 9250. Soit $f$ la fonction définie sur $\Rpe$ par \[ f(x) = 3x^3+\Frac{1}{x} \]
  1. Montrer que cette fonction atteint sur $\Rpe$ un minimum que l'on précisera. \\
  2. Soient trois réels $a > 0$, $b> 0$ et $c>0$. Justifier l'inégalité \[ 3abc(a^3+b^3+c^3) +ab+ac+bc \geqslant 4 \sqrt{3} abc \]
Exercice 9251. Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par \[ f(x) = x^3-x^2-x \] On note $\mathscr{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé. \\
  1. Etudier les variations de $f$ sur $\R$. \\
  2. Déterminer les coordonnées des points d'intersection de $\mathscr{C}$ avec l'axe des abscisses. \\
  3. Donnez l'équation réduite de la tangente $(T_a)$ à la courbe $\mathscr{C}$ au point d'abscisse $a$. \\
    1. Développer $(x-a)^2(x+2a-1)$. \\
    2. Déterminer, en fonction de $a$, le nombre et les abscisses des points d'intersection de la courbe $\mathscr{C}$ et de la tangente $(T_a)$.
Exercice 9252. Soit $m$ un réel donné et $f_m$ la fonction définie sur $\R$ par \[ f_m(x) = \Frac{x^2+m}{x^2+1} \]
  1. Justifier que la fonction $f_m$ est bien définie sur $\R$. \\
  2. Etudier la parité de la fonction $f_m$. \\
  3. Calculer $f'_m(x)$ pour tout réel $x$. \\
    1. Dans cette question on suppose $m<1$. \\ Dresser le tableau de variations de la fonction $f_m$. \\
    2. Même question si $m>1$.\\
    3. Que peut-on dire de la fonction $f_1$ (obtenue pour $m=1$) ?
Exercice 9259. Soit $f$ définie sur $[0 ; +\infty[$ par : \\ \[ f(x) = \Frac{2x - \sqrt{x}}{2 + \sqrt{x}}. \]
  1. Calculer $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)$. \\
  2. Montrer que $\forall x \in ]0 ; +\infty[$ : $f'(x) = \Frac{x + 4\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} (2 + \sqrt{x})^2}$.\\
  3. Résoudre, sur $\Rp$ l’équation : $X^2 + 4X - 1 = 0$.\\
  4. En déduire le signe de $f'(x)$ sur $\Rp$. \\
  5. Dresser alors un tableau de variations complet de la fonction $f$ sur $[0 ; +\infty[$. \\
Exercice 9265. Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par \[f(x) = (1-2x)e^{2x}\]
  1. Démontrer que pour tout naturel $n$ non nul, $f^{(n)}(x)=2^n(1-n-2x)e^{2x}$ où $f^{(n)}$ désigne la dérivée $n$-ième de $f$. \\ La dérivée $n$-ième d'une fonction $f$ est obtenue en dérivant $n$-fois la fonction $f$. \\
  2. Montrer que $\forall n \in \N^*$, la courbe représentative de $f^{(n)}$ admet une tangente horizontale en un point que l'on note $M_n$. \\
    1. Exprimer, en fonction de $n$ les coordonnées $(x_n ;y_n)$ du point $M_n$. \\
    2. Vérifier que $\forall n \in \N^*$, $M_n$ se situe sur la courbe de la fonction $g(x)= \Frac{e^{2x}}{4^x}$. \\
  4. Montrer que la suite $(x_n)$ est arithmétique et que la suite $(y_n)$ est géométrique.
Exercice 9287. Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\R$. \\ On admet que $f$ vérifie les conditions suivantes : \\
  • $\forall x \in \R, \; f'(x) = \Frac{1}{1+x^4}$ \\
  • $f(0)=0$. \\
On définit la fonction $g$ sur $\R$ par $g \; : \; x \mapsto f(-x)$.\\
  1. Etudier le sens de variation de $g$ sur $\R$. \\
  2. Déterminer le signe de $g(x)$ sur $\R$. \\
  3. Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par $h \; : \; x \mapsto g(x)+f(x)$.\\ Montrer que la fonction $h$ est la fonction nulle. Que peut-on en déduire sur la parité de $g$ ? \\
Exercice 9288. Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = \Frac{e^x-1}{e^x+1}$. \\
  1. Déterminer les limites de $f$ en $+\infty$ et $-\infty$. \\ Interpréter graphiquement les résultats. \\
  2. Dresser le tableau de variations complet de la fonction $f$. \\
  3. On note $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x) = \Frac{1}{e^x}$. \\ Combien y-a-t-il de point d'intersection entre les courbes $\Cf$ et $\Cg$ ?
Exercice 8572. Soit $n \geq 2$ un entier fixé et $f_n$ la fonction définie sur $[0 \; ; \; +\infty[$ par : \[ f_n(x) = \frac{1+x^n}{(1+x)^n} \]
    1. Expliquer pourquoi $f_n$ est dérivable sur $[0 \; ; \; +\infty[$ et calculer $f_n'(x)$.
    2. Étudier le signe de $f_n'(x)$ et montrer que $f_n$ atteint un minimum que l'on déterminera.
    1. En déduire l'inégalité suivante, pour $x \geq 0$ : $(1+x)^n \leq 2^{n-1}(1+x^n)$.
    2. En déduire que si $x$ et $y$ sont des réels positifs : $(x+y)^n \leq 2^{n-1}(x^n+y^n)$.
Exercice 8573. $ABCD$ est un carré de côté $1$. $\mathscr{C}$ est le quart de cercle de centre $A$, de rayon $AB$, contenu dans le carré. $T$ est un point de $\mathscr{C}$ distinct de $B$ et $D$. La tangente en $T$ à $\mathscr{C}$ coupe $[DC]$ en $M$ et $[BC]$ en $N$. On pose $x = DM$ et $y = BN$.
    1. Démontrer que $MN^2 = x^2 + y^2 - 2x - 2y + 2$.
    2. Établir que $MN = MT + TN = x + y$.
    3. Exprimer $MN$ en fonction de $x$ seul.
  2. $f$ est la fonction définie sur $]0 \; ; \; 1[$ par $f(x) = \dfrac{x^2+1}{x+1}$.
    1. Calculer $f'(x)$.
    2. Étudier les variations de $f$.
  3. Pour quelle position de $M$ la longueur $MN$ est-elle minimale ?
Exercice 9258. Soit $k$ un réel strictement positif. On définit alors la fonction $g_k$ par : \[ g_k(x) = e^{-kx^2}. \]
  1. Étudier la parité de la fonction $g_k$. \\
  2. Démontrer que $g_k$ est dérivable et donner sa dérivée $g_k'$. \\
  3. Étudier le signe de $g_k'(x)$ puis dresser le tableau de variation de $g_k$. \\
  4. Exprimer $g_k''(x)$ et résoudre l’équation $g_k''(x) = 0$. \\
  5. Tracer la courbe de $g_{\frac{1}{2}}$, $g_1$ et $g_2$. \\
  6. Démontrer que, $\forall x \in \R$ : $h \leqslant k \iff g_h(x) \geqslant g_k(x)$. \\
  7. Dans cette question, $k = \Frac{1}{2}$. Soit $\alpha$ la solution positive de l’équation $g_k''(x) = 0$. \\ Déterminer une équation de la tangente $(T)$ à la courbe $g_k$ au point d’abscisse $\alpha$.
Exercice 9264. Soit $k$ un entier relatif. \\ On définit la famille de fonctions $(f_k)_{k \in \Z}$ définies sur $\R\backslash \{1\}$ par \[ f_k(x) = \Frac{1-kx}{x-1} \] On notera $\mathscr{C}_k$ la courbe représentative de la fonction $f_k$. \\
  1. Quelle est la nature de la fonction $\Cu$ ? \\
  2. Montrer que pour tout $k \in \Z$, $A(0,1) \in \mathscr{C}_k$. \\
  3. Déterminer le sens de variation de la fonction $f_k$ suivant les valeurs de $k$. \\
  4. Déterminer une équation de la tangente $T$ au point $A$ à la courbe $\mathscr{C}_k$.
Exercice 9365. Soit une fonction $f$ dérivable sur $\R$ satisfaisant aux propriétés suivantes :
  • $f'(0)=1$.
  • $\forall x \in \R$, $\forall a \in \R$, $f(a+x) = f(a)f(x)$. $[1]$
  1. Justifier que $f(0)=1$.
  2. Montrer que, pour tout réel $x$, $f(x) > 0$.
  3. Supposons que $a$ est un réel fixé. \\ On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x) = f(a+x)-f(a)f(x)$. \\ En dérivant la fonction $g$ de deux façons, prouver que \[ \forall x \in \R, f'(x+a)=f(a)f'(x) \: [2] \] En déduire que \[ f' = f \]
Exercice 8574. Partie A. Étude d'une fonction auxiliaire.\\ La fonction $d$ est définie sur $]-1 \; ; \; +\infty[$ par $d(x) = \mathrm{e}^{\frac{x}{x+1}}$.
  1. Calculer $d'$. En déduire les variations de $d$.
  2. Déterminer les limites de $d$ en $-1$ et en $+\infty$.
  3. Montrer que pour tout $x > -1$, $0 < d(x) < \mathrm{e}$.
Partie B. Étude de la fonction $f$.\\ On considère la fonction $f$ définie sur $]-1 \; ; \; +\infty[$ par $f(x) = x+1-\mathrm{e}^{\frac{x}{x+1}}$.
  1. Démontrer que la droite $(D)$ d'équation $y = x-\mathrm{e}+1$ est asymptote à la courbe $(C)$. Préciser la position relative de $(D)$ et $(C)$.
  2. Pour $x \in \; ]-1 \; ; \; +\infty[$, calculer $f'(x)$ et $f''(x)$. Vérifier que $f''(x) = \dfrac{2x+1}{(x+1)^4}\mathrm{e}^{\frac{x}{x+1}}$. En déduire le sens de variation de $f'$.
  3. On admet que $f'(x) = 0$ admet sur $]-1 \; ; \; +\infty[$ deux solutions dont l'une est $0$. En notant $\alpha$ la solution non nulle, donner une valeur approchée de $\alpha$ au centième près.
  4. Étudier les variations de $f$, calculer les limites aux bornes, et dresser le tableau de variations de $f$.
Partie C. Prolongement de $f$ en $-1$.\\ On considère $g$ définie par $g(-1) = 0$ et $g(x) = f(x)$ pour $x > -1$.
  1. Montrer que $g$ est dérivable en $-1$ et préciser $g'(-1)$.
  2. Déterminer les tangentes à $(C')$ aux points d'abscisses $-1$, $\alpha$ et $0$.
Exercice 9364. Pour $n \in \N^*$, on donne $n$ réels $a_1, \hdots, a_n$. On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par \[ f(x) = \Frac{1}{n}[(x-a_1)^2+(x-a_2)^2+\hdots+(x-a_n)^2] = \Frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n}(x-a_k)^2\] On définie la moyenne arithmétique des $n$ réels $a_1, \hdots, a_n$ par \[ \bar{x} = \Frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} a_k \]
  1. Montrer que cette fonction $f$ admet un minimum que l'on précisera.
  2. En posant $\bar{q} = \sqrt{ \Frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} a_k^2}$, établir l'égalité \[ \bar{q} \geqslant \abs{\bar{x}} \]
Le réel positif $f(\bar{x}) = \Frac{1}{n} \displaystyle \sum_{k=1}^{n} a_k^2 - \bar{x}^2$ est la variance des réels $a_1, \hdots, a_n$. \\ Le réel $\sqrt{f(\bar{x})}$ est l'écart-type de ces $n$ réels.