Nombre dérivé, dérivabilité

Exercice 9292. Soit la fonction trinôme $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = x^2+2x-3$. \\ Démontrer que $f$ est dérivable en $a=2$ et en déduire la valeur du nombre dérivé de $f'(2)$.
Exercice 9293. En utilisant les taux d'accroissement, déterminer le nombre dérivé des fonctions suivantes en $a$ :
  • $f(x) = x^2-1$ et $a=4$ \\
  • $f(x) = 2x^2-x+5$ et $a=1$ \\
  • $f(x) = \Frac{1}{x}$ et $a=2$ \\
  • $f(x) = \sqrt{x+1}$ et $a=3$.
Exercice 9296. Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = x^2$. \\ Démontrer que pour tout réel $a$, on a \[ f'(a) = 2a \]
Exercice 9297. Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = \Frac{1}{x}$. \\ Démontrer que pour tout réel $a$, on a \[ f'(a) = -\Frac{1}{a^2} \]
Exercice 9294. Démontrer que $x \mapsto \abs{x}$ n'est pas dérivable en 0.
Exercice 9295. Montrer que $x \mapsto \sqrt{x}$ n'est pas dérivable en 0.
Exercice 9318. Etudier la dérivabilité en 0 des fonctions suivantes :
  • $f(x) = \Frac{1}{1+\abs{x}}$.
  • $g(x) = x f(x)$.
  • $h(x) = \abs{x} f(x)$.
Exercice 9320.
  1. Démontrer que la fonction $x \mapsto \sqrt{x}$ n'est pas dérivable en 0.
  2. Démontrer que la fonction $x \mapsto x \sqrt{x}$ est dérivable en 0.
Exercice 9323. Soit un réel $a > 0$ et $u$ la fonction définie sur $\R^+$ privée de $a$ par \[ u(x) = \Frac{a^2\sqrt{x}-x^2\sqrt{a}}{x-a} \]
  1. En utilisant le conjugué, déterminer $\displaystyle \lim_{x \to a} u(x)$.
  2. En utilisant la fonction $f$ définie par $f(x) = a^2\sqrt{x}-x^2\sqrt{a}$, retrouver le résultat de 1. \\
Exercice 9322. Soit $f$ une fonction définie sur $\R$. On considère la fonction $\rho$ définie sur $\R^*$ par \[ \rho(x) = \Frac{f(x)-f(-x)}{2x}\] Montrer que si $f$ est dérivable en 0, alors la fonction $\rho$ admet une limite finie en 0.