Sommes

Exercice 8307. \\
  1. Calculer $S = 4+4^2+4^3+\hdots+4^7$. \\
  2. Calculer $S = \frac{1}{10}+\frac{1}{100}+\hdots+\frac{1}{10^7}$.
Exercice 8323.
  1. Calculer la somme des entiers pairs de $2$ à $100$. \\
  2. Calculer la somme des entiers impairs de $1$ à $99$. \\
  3. Calculer de deux façons différentes la somme des entiers de $1$ à $100$.
Exercice 8314. On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = u_n + n^2$. \\
  1. Calculer les premiers termes. \\
  2. Exprimer $u_n$ sous forme de somme.
Exercice 8303. $(u_n)$ est la suite arithmétique de raison $4$ telle que $u_2 = -5$. \\ Pour tout nombre $n \geqslant 2$ de $\mathbb{N}$, on pose $S_n = u_2+u_3+u_4+\hdots+u_n$. \\ Exprimer $S_n$ explicitement en fonction de $n$.
Exercice 8304. $(u_n)$ est la suite arithmétique de raison $-1,5$ telle que $u_2 = 0,5$. \\ Pour tout nombre $n \geqslant 2$ de $\mathbb{N}$, on pose $S_n = u_2+u_3+u_4+\hdots+u_n$. \\ Exprimer $S_n$ explicitement en fonction de $n$.
Exercice 8305. $(v_n)$ est la suite géométrique de raison $3$ telle que $v_2 = 0,2$. \\ Calculer $S = v_0+v_1+v_2+\hdots+v_{10}$.
Exercice 8306. On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = u_n+2n+1$. \\
  1. Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$. \\
  2. La suite $(u_n)$ est-elle géométrique ? Justifier. \\
  3. Calculer la somme $1+3+3^2+\hdots+3^7$. \\
  4. En déduire la valeur de la somme $18+54+162+\hdots+39\,366$.
Exercice 8325. On dispose au sol, côte à côte, plusieurs tuyaux cylindriques identiques. \\ Puis, on empile une rangée supplémentaire en posant un tuyau sur les deux tuyaux du niveau inférieur. \\ On poursuit ainsi jusqu'à avoir un seul tuyau sur la rangée la plus haute. \\
  1. On dispose trois tuyaux côte à côte sur le sol. Combien de tuyaux au total seront-ils empilés ? \\
  2. On dispose $n$ tuyaux côte à côte sur le sol, où $n$ est un entier naturel non nul. Combien de tuyaux au total seront-ils empilés ? \\
  3. Un empilement contient $26\,335$ tuyaux au total. \\ Quel est le nombre de tuyaux disposés côte à côte sur le sol ?
Exercice 8326. On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 2$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$, \[ u_{n+1} = 1-\frac{1}{u_n} \] Démontrer que la suite $(u_{3n})$ est constante.
Exercice 8324. $(u_n)$ est la suite définie sur $\mathbb{N}$ par $u_n = 1+2+\hdots+n$. \\ Démontrer que pour tout $n \geqslant 1$, l'aire du domaine jaune délimité par les deux carrés ci-contre est égale à $n^3$ puis en déduire que \[ 1^3+2^3+\hdots+n^3 = (1+2+\hdots+n)^2 \]