Exercices divers

Exercice 8308. Un client décide de placer $5\,700$ euros à la banque. \\ Son banquier lui propose deux placements : \\
  • Placement $1$ : une rémunération de $3,2$% par an. \\
  • Placement $2$ : une rémunération de $200$ euros par an.
On note : \\
  • $(u_n)$ la suite donnant le capital du client $n$ années après le dépôt initial, avec le placement $1$. \\
  • $(v_n)$ la suite donnant le capital du client $n$ années après le dépôt initial, avec le placement $2$.
On a ainsi $u_0 = v_0 = 5\,700$. \\ Pour toutes les questions suivantes, aucune justification n'est demandée. \\
  1. Quelle est la nature de la suite $(u_n)$ ? Donner ses éléments caractéristiques et exprimer $u_n$ en fonction de $n$. \\ Comment s'appelle le type de croissance de cette suite ? \\
  2. Mêmes questions pour la suite $(v_n)$. \\
  3. À partir de quelle année, le placement $1$ sera-t-il plus avantageux que le $2$ ?
Exercice 8321. On considère la suite $(U_n)$ définie par $U_0 = 3$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$ par $U_{n+1} = \frac{1-U_n}{1+U_n}$. \\
  1. Déterminer à la calculatrice les premiers termes de cette suite et formuler une conjecture. \\
  2. Démontrer votre conjecture. \\
  3. En déduire le terme général de $(U_n)$. \\
  4. Combien vaut $U_{423}$ ?
Exercice 8322. Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n = 3^n+4n-3$. \\ Déterminer, en fonction de $n$, la somme $S_n = \Sum_{k=0}^{n}u_k$.
Exercice 8309. Une commune dispose de $380$ voitures et propose un système de locations de ces voitures selon les modalités suivantes : \\
  • chaque voiture est louée pour une durée d'un mois ; \\
  • la location commence le $1^{\mathrm{er}}$ jour du mois et se termine le dernier jour du même mois ; \\
  • le nombre de voitures louées est comptabilisé à la fin de chaque mois.
À la fin du mois de janvier $2023$, $280$ voitures ont été louées avec ce système de location. \\ Le responsable de ce système souhaite étudier l'évolution du nombre de locations de voitures. \\ Pour cela il modélise le nombre de voitures louées chaque mois par une suite $(u_n)$, où, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ représente le nombre de voitures louées le $n$-ième mois après le mois de janvier $2023$. \\ Ainsi, $u_0 = 280$. \\ On admet que cette modélisation conduit à l'égalité $u_{n+1} = 0,9u_n+42$. \\
  1. Combien de voitures ont-elles été louées avec ce système de location au mois de février $2023$ ? \\
  2. La suite $(u_n)$ est-elle arithmétique ? géométrique ? \\
  3. Pour tout entier naturel $n$, on pose $v_n = u_n-420$. \\
    1. Montrer que $(v_n)$ est géométrique. On précisera le premier terme $v_0$ et la raison. \\
    2. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$ et montrer que $u_n = -140 \times 0,9^n+420$. \\
  4. La commune, qui possède initialement $380$ véhicules, envisage d'acheter des voitures supplémentaires pour répondre à la demande. \\ Le responsable de la commune souhaite prévoir à partir de quelle date le nombre de voitures sera insuffisant. \\ On souhaite utiliser un algorithme. \\
    1. Recopier et compléter l'algorithme. \\
    2. Que contient la variable $N$ à la fin de l'exécution de l'algorithme ? Ne pas justifier. \\
    3. En déduire le mois durant lequel la commune devra augmenter le nombre de voitures. \\
  5. Exprimer en fonction de $n$ la somme $S_n = \Sum_{k=0}^{n}u_k = u_0+u_1+\hdots+u_n$. \\ Que représente ce résultat dans le contexte de l'exercice ?
Exercice 8319. On considère les suites $(U_n)$ et $(V_n)$ définies par leur premier terme $U_0 = 1$ et $V_0 = 2$ et, pour tout entier $n$, \[ \begin{cases} U_{n+1} = \frac{1}{3}U_n+\frac{2}{3}V_n \\ V_{n+1} = \frac{1}{5}U_n+\frac{4}{5}V_n \end{cases} \]
  1. Calculer $U_1$ et $V_1$. \\
  2. On pose, pour tout entier naturel $n$, $W_n = V_n-U_n$. \\ Montrer que la suite $(W_n)$ est géométrique. Préciser sa raison et son premier terme. \\ Donner alors l'expression explicite de $W_n$ en fonction de $n$. \\
  3. On pose, pour tout entier $n$, $T_n = 3U_n+10V_n$. \\ Montrer que la suite $(T_n)$ est constante. \\
  4. Exprimer alors, explicitement en fonction de $n$, les termes $U_n$ et $V_n$. \\
  5. Déterminer $S_n = V_0+V_1+\hdots+V_n$ en fonction de $n$.
Exercice 8320. On considère les suites $(U_n)$ et $(V_n)$ définies pour $n \geqslant 0$ par \[ \begin{cases} U_0 = 3 \\ U_{n+1} = \frac{U_n+V_n}{2} \end{cases} \quad \text{et} \quad \begin{cases} V_0 = 4 \\ V_{n+1} = \frac{U_{n+1}+V_n}{2} \end{cases} \]
  1. Calculer $U_1$ et $V_1$. \\
  2. Soit la suite $(W_n)$ définie pour $n \geqslant 0$ par $W_n = V_n-U_n$. \\ Montrer que $(W_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. \\ En déduire le terme général de $(W_n)$ en fonction de $n$. \\
  3. On considère la suite $(T_n)$ définie pour $n \geqslant 0$ par $T_n = \frac{U_n+2V_n}{3}$. \\ Montrer que $(T_n)$ est constante. \\
  4. En déduire alors le terme général de $(U_n)$ et $(V_n)$. \\
  5. Exprimer en fonction de $n$, la somme $S_n = V_0+V_1+\hdots+V_n$.