Calculs d'aires

Exercice 465. Soit la fonction $f : x \mapsto \sin(2x)$. \\ Calculer l'aire $\mathcal{A}$ de la partie du plan limitée par la droite des abscisses et la courbe $\Cf$ lorsque $x \in [-\ps{4},\ps{2}]$.
Exercice 466. Soit un réel $a > 0$, on considère la fonction $f$ définie sur $\Rpe$ par $f(x) = a\ln{x}$.\\ Soit un réel $x_0 > 1$. \\
  1. Montrer que $F(x) = a[x\ln{x}-x]$ est une primitive de $f$ sur $\Rpe$. \\
  2. Exprimer l'aire du domaine délimité par $\Cf$, l'axe des abscisses et les droites $x=1$ et $x=x_0$ en fonction de $a$ et $x_0$.
Exercice 467. Soit $f(x) = x+e^{-x}$ et le réel $\lambda > 0$.\\ On désigne par $\mathscr{A}(\lambda)$ l'aire de la partie du plan limitée par $\Cf$ et par les droites d'équation $y=x$, $x=0$ et $x=\lambda$. \\
  1. Calculer $\mathscr{A}(\lambda)$. \\
  2. L'aire $\mathscr{A}(\lambda)$ tend-elle vers une limite finie quand $\lambda$ tend vers l'infini ? Si oui laquelle ?
Exercice 468. Soit les fonctions $f(x) = \Frac{1}{x-1}$ et $g(x) = \Frac{1}{x+1}$. \\ On note $\mathscr{A}_n$ l'aire du domaine délimité par les courbes $\Cf$, $\Cg$ et les droites d'équation respectives $x=2$ et $x=n$. \\ Quelle est la limite de $\mathscr{A}_n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$ ?
Exercice 469. Soit le réel $a > 0$. \\ On note $\Cc$ la courbe représentative de $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = e^{1-x}$.\\
  • Soit $A$ le point de coordonnées $(a;0)$ et $B$ le point d'abscisse $a$ de $\Cc$. \\
  • On note $\mathscr{A}_1$ l'aire du domaine délimité par la courbe $\Cc$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=a$. \\
  • La tangente à $\Cc$ en $B$ coupe l'axe des abscisses en $C$ et on note $\mathscr{A}_2$ l'aire du triangle $ABC$. \\
Montrer que $\mathscr{A}_1+2\mathscr{A}_2$ est indépendant de $a$.
Exercice 470. Soit $f$ définie sur $]0,1[\cup]1,+\infty[$ par $f(x) = \Frac{10(x-8)}{x(x-1)}$.\\
  1. Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que, pour tout $x \in ]1,+\infty[$, on ait $f(x) = \Frac{a}{x}+\Frac{b}{x-1}$. \\
  2. Soit $\lambda$ un nombre réel strictement supérieur à $8$. \\ Calculer l'aire $\mathscr{A}(\lambda)$ du domaine limité par la courbe $\Cf$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=8$ et $x=\lambda$. \\
  3. Calculer la limite de $\mathscr{A}(\lambda)$ lorsque $\lambda$ tend vers $+\infty$.