Suites d'intégrales

Exercice 444. Intégrale simple

\\ Déterminer la limite de la suite $(I_n)$ définie par $I_n = \integrale{0}{1}{e^{-nt}}{t}$.
Exercice 445. Montrer que la suite $(J_n)$ définie par $J_n = \integrale{1}{n}{e^{-t}\sqrt{1+t}}{t}$ est une suite croissante.
Exercice 446. Déterminer la limite de la suite $(I_n)$ définie par $I_n = \integrale{0}{q}{nx^n}{x}$ avec le réel $q > 0$.
Exercice 447. Pour tout $n \geqslant 1$, on pose $I_n = \integrale{n}{n+1}{\Frac{1}{x}}{x}$.\\
  1. Montrer que pour tout $n \geqslant 1$, $\Frac{1}{n+1} \leqslant I_n \leqslant \Frac{1}{n}$. \\
  2. La suite $(I_n)$ converge-t-elle ?
Exercice 448. Pour tout $n \in \N$, on pose $I_n = \integrale{0}{1}{x^ne^{-x}}{x}$.\\
  1. Calculer $I_0$. \\
  2. Montrer que $(I_n)$ est décroissante. \\
  3. Montrer que $\forall n \in \N$, $0 \leqslant I_n \leqslant \Frac{1}{n+1}$. \\
  4. Déterminer $\limn I_n$.
Exercice 449. Pour tout $n \geqslant 1$, on pose $I_n = \integrale{0}{1}{\Frac{x^n}{1+x}}{x}$.\\
  1. Montrer que $(I_n)$ est décroissante et minorée.\\
  2. Montrer que $\forall n \geqslant 1, I_{n+1} + I_n = \Frac{1}{n+1}$. \\
  3. En déduire que $\limn I_n = 0$.

Exercice 450. Intégrale trigonométrique

\\ On considère pour tout $n \geqslant 1$, l'intégrale $I_n = \integrale{0}{\pi}{e^{-nx}\sin(x)}{x}$.\\
  1. Justifier que pour tout $n \in \N$, $I_n \geqslant 0$. \\
  2. Montrer que pour tout $n \in \N$, $I_{n+1}-I_n \leqslant 0$. \\
  3. Déduire que $(I_n)$ converge.

Exercice 451. Intégrale trigonométrique n°2

\\ On considère pour tout $n \geqslant 1$, l'intégrale $I_n = \integrale{0}{\pi}{e^{-nx}\sin(x)}{x}$.\\ On admet que $I_n \geqslant 0$ pour tout $n \in \N$. \\
  1. Montrer que pour tout $n \in \N$, $I_n \leqslant \integrale{0}{\pi}{e^{-nx}}{x}$. \\
  2. Montrer que pour tout entier naturel $n\geqslant 1$, $\integrale{0}{\pi}{e^{-nx}}{x} = \Frac{1-e^{-n\pi}}{n}$. \\
  3. En déduire la limite de la suite $(I_n)$.

Exercice 452. Intégrale trigonométrique n°3

\\ On considère pour tout $n \geqslant 1$, les intégrales $I_n = \integrale{0}{\pi}{e^{-nx}\sin(x)}{x}$ et $J_n = \integrale{0}{\pi}{e^{-nx}\cos(x)}{x}$. \\ En intégrant par parties de deux manières différentes $I_n$, établir que $I_n = 1+e^{-n\pi}-nJ_n$ et $I_n =\Frac{1}{n}J_n$. \\ En déduire que $I_n = \Frac{1+e^{-nx}}{x^2+1}$.

Exercice 453. Intégrale trigonométrique n°4

\\ Pour $n\in \N$, on pose $I_n= \integrale{0}{\pi}{e^x\cos(nx)}{x}$. \\
  1. Donner les valeurs, pour tout $n\in \N$, de $\cos(n\pi)$ et $\sin(n\pi)$.\\
  2. A l'aide de deux intégrations par parties, montrer que $I_n = \Frac{(-1)^ne^{\pi}-1}{1+n^2}$. \\
  3. Montrer que pour tout naturel $n$, $\abs{I_n} \leqslant \Frac{e^{\pi}+1}{1+n^2}$ puis en déduire $\limn I_n$.
Exercice 454. On considère $(u_n)$ la suite définie pour tout $n \in \N$ par $u_n = \integrale{0}{1}{\Frac{e^{-nx}}{1+e^{-x}}}{x}$.\\
  1. Montrer que $u_0+u_1=1$ puis, en calculant $u_1$, en déduire $u_0$.\\
  2. Montrer que pour tout $n \in \N$, $u_n \geqslant 0$.\\
  3. Montrer que pour tout $n \geqslant 1$, $u_{n+1}+u_n = \Frac{1-e^{-n}}{n}$ puis en déduire $u_n \leqslant \Frac{1-e^{-n}}{n}$.\\
  4. En déduire $\limn u_n$.
Exercice 455. On considère la suite $(I_n)$ définie pour tout entier $n \in \N$ par $I_n = \integrale{-2}{0}{x^ne^{-x}}{x}$. \\
  1. Calculer la valeur exacte de $I_0$. \\
  2. Montrer que pour tout $n \in \N$, $I_{n+1} = (-2)^{n+1}e^2+(n+1)I_n$. \\
  3. En déduire les valeurs exactes de $I_1$ et $I_2$.
Exercice 456. Soit $(u_n)$ la suite définie pour $n \geqslant 1$ par $u_n = \integrale{0}{1}{(1-t)^ne^{t}}{t}$.\\
  1. Montrer que pour tout $n \geqslant 1$, $u_n \geqslant 0$.\\
  2. Montrer que $(u_n)$ est décroissante puis en déduire sa convergence. \\
  3. Montrer que pour tout $n \geqslant 1$, $u_n \leqslant \Frac{e}{n+1}$.\\
  4. En déduire $\limn u_n$.
Exercice 457. Soit $(I_n)$ la suite définie par $I_n = \integrale{0}{1}{\Frac{e^{-t^2}}{1+n+t}}{t}$.\\
  1. Déterminer le sens de variation de cette suite. \\
  2. Montrer que $(I_n)$ est une suite positive. \\
  3. Montrer que pour tout $t \in [0,1]$, on a $\Frac{e^{-t^2}}{1+t+n} \leqslant \Frac{1}{1+n}$ puis en déduire que $0 \leqslant I_n \leqslant \Frac{1}{n+1}$. \\ Que peut-on en déduire quant à la convergence de $(I_n)$ ?
Exercice 458. Soit $(I_n)$ la suite définie sur $\N$ par $I_n = \integrale{0}{1}{x^ne^{x^2}}{x}$.\\
  1. Montrer que pour tout $n \geqslant 1$, $I_n \geqslant 0$. \\
  2. Montrer que $(I_n)$ est décroissante. \\
  3. En déduire que la suite $(I_n)$ est convergente. On note $\ell$ sa limite. \\
  4. Déterminer la valeur de $\ell$ en raisonnant par l'absurde.
Exercice 459. On pose $\forall n \in \N^*$ $I_n = \integrale{0}{1}{\Frac{e^{nx}}{e^x+1}}{x}$.\\
  1. Calculer $I_1$ et $I_0+I_1$. En déduire $I_0$. \\
  2. Calculer $I_{n+1}+I_n$. \\
  3. Montrer que $(I_n)$ est croissante. \\
  4. Déterminer un encadrement de $I_n$. \\
  5. En déduire sa limite.
Exercice 460. On considère la suite $(I_n)$ définie sur $\N^*$ par $I_n = \integrale{1}{5}{\Frac{\ln{x}}{x^n}}{x}$.\\
  1. Montrer que pour tout $n \in \N^*$ et $x \in [1,5]$, $0 \leqslant \Frac{\ln{x}}{x^n} \leqslant \Frac{\ln{5}}{x^n}$. \\
  2. Montrer que pour tout $n \geqslant 2$, $\integrale{1}{5}{\Frac{1}{x^n}}{x} = \Frac{1}{n-1}\parenthese{1-\Frac{1}{5^{n-1}}}$. \\
  3. Déterminer la limite de $I_n$.
Exercice 461. Soit $\un$ la suite définie par $u_n = \integrale{0}{n}{e^{-x^2}}{x}$. \\
  1. Montrer que $\un$ est croissante. \\
  2. Montrer que pour tout $x \geqslant 0$, $e^{-x^2} \leqslant e^{-2x+1}$. \\
  3. Montrer que $u_n < \Frac{e}{2}$. \\
  4. En déduire que $\un$ converge vers une limite $\ell \in \R$.
Exercice 462. On pose $I_0 = \integrale{0}{e}{x}{x}$ et pour tout $n \in \N^*$, $I_n = \integrale{1}{e}{x(\ln{x})^n}{x}$.\\
  1. Calculer $I_0$ et $I_1$. \\
  2. Pour $n \in \N^*$, établir la relation $2I_n+nI_{n-1} = e^2$. Calculer $I_2$. \\
  3. Montrer que la suite $(I_n)$ est décroissante. \\ En déduire, en utilisant la relation de 2. l'encadrement $\Frac{e^2}{n+3} \leqslant I_n \leqslant \Frac{e^2}{n+2}$. \\
  4. Calculer $\limn I_n$ et $\limn nI_n$.
Exercice 463. On pose, pour tout $n \in \N^*$, $I_n = \Frac{1}{n!}\integrale{0}{1}{(1-x)^ne^{-x}}{x}$.\\
  1. Montrer que pour tout $n \in \N^*$, on a $0 \leqslant I_n \leqslant \Frac{1}{n!}\integrale{0}{1}{e^{-x}}{x}$ puis en déduire $\limn I_n$.\\
  2. Montrer en utilisant une intégration par parties que pour tout $n \in \N^*$, $I_{n+1} = \Frac{1}{(n+1)!}-I_n$.

Exercice 464. Intégrale à paramètre

\\ Soit $a \in \Rp$. Pour $k \in \N$, on note $I_k(a) = \integrale{0}{a}{\Frac{(t-a)^k}{(1+t)^{k+1}}}{t}$.\\ A l'aide d'une intégration par parties, montrer que $I_{k+1}(a) = \Frac{(-1)^{k+1}a^{k+1}}{k+1}+I_k(a)$.