Suites d'intégrales

Exercice 441. Intégrale simple

Déterminer la limite de la suite (In)(I_n) définie par In=∫01e−nt dtI_n = \integrale{0}{1}{e^{-nt}}{t}.
Exercice 442. Montrer que la suite (Jn)(J_n) définie par Jn=∫1ne−t1+t dtJ_n = \integrale{1}{n}{e^{-t}\sqrt{1+t}}{t} est une suite croissante.
Exercice 443. Déterminer la limite de la suite (In)(I_n) définie par In=∫0qnxn dxI_n = \integrale{0}{q}{nx^n}{x} avec le réel q>0q > 0.
Exercice 444. Pour tout n⩾1n \geqslant 1, on pose In=∫nn+11x dxI_n = \integrale{n}{n+1}{\Frac{1}{x}}{x}.
  1. Montrer que pour tout n⩾1n \geqslant 1, 1n+1⩽In⩽1n\Frac{1}{n+1} \leqslant I_n \leqslant \Frac{1}{n}.
  2. La suite (In)(I_n) converge-t-elle ?
Exercice 445. Pour tout n∈Nn \in \N, on pose In=∫01xne−x dxI_n = \integrale{0}{1}{x^ne^{-x}}{x}.
  1. Calculer I0I_0.
  2. Montrer que (In)(I_n) est décroissante.
  3. Montrer que ∀n∈N\forall n \in \N, 0⩽In⩽1n+10 \leqslant I_n \leqslant \Frac{1}{n+1}.
  4. Déterminer lim⁡n→+∞In\limn I_n.
Exercice 446. Pour tout n⩾1n \geqslant 1, on pose In=∫01xn1+x dxI_n = \integrale{0}{1}{\Frac{x^n}{1+x}}{x}.
  1. Montrer que (In)(I_n) est décroissante et minorée.
  2. Montrer que ∀n⩾1,In+1+In=1n+1\forall n \geqslant 1, I_{n+1} + I_n = \Frac{1}{n+1}.
  3. En déduire que lim⁡n→+∞In=0\limn I_n = 0.

Exercice 447. Intégrale trigonométrique

On considère pour tout n⩾1n \geqslant 1, l'intégrale In=∫0πe−nxsin⁡(x) dxI_n = \integrale{0}{\pi}{e^{-nx}\sin(x)}{x}.
  1. Justifier que pour tout n∈Nn \in \N, In⩾0I_n \geqslant 0.
  2. Montrer que pour tout n∈Nn \in \N, In+1−In⩽0I_{n+1}-I_n \leqslant 0.
  3. Déduire que (In)(I_n) converge.

Exercice 448. Intégrale trigonométrique n°2

On considère pour tout n⩾1n \geqslant 1, l'intégrale In=∫0πe−nxsin⁡(x) dxI_n = \integrale{0}{\pi}{e^{-nx}\sin(x)}{x}. On admet que In⩾0I_n \geqslant 0 pour tout n∈Nn \in \N.
  1. Montrer que pour tout n∈Nn \in \N, In⩽∫0πe−nx dxI_n \leqslant \integrale{0}{\pi}{e^{-nx}}{x}.
  2. Montrer que pour tout entier naturel n⩾1n\geqslant 1, ∫0πe−nx dx=1−e−nπn\integrale{0}{\pi}{e^{-nx}}{x} = \Frac{1-e^{-n\pi}}{n}.
  3. En déduire la limite de la suite (In)(I_n).

Exercice 449. Intégrale trigonométrique n°3

On considère pour tout n⩾1n \geqslant 1, les intégrales In=∫0πe−nxsin⁡(x) dxI_n = \integrale{0}{\pi}{e^{-nx}\sin(x)}{x} et Jn=∫0πe−nxcos⁡(x) dxJ_n = \integrale{0}{\pi}{e^{-nx}\cos(x)}{x}. En intégrant par parties de deux manières différentes InI_n, établir que In=1+e−nπ−nJnI_n = 1+e^{-n\pi}-nJ_n et In=1nJnI_n =\Frac{1}{n}J_n. En déduire les valeurs de InI_n et JnJ_n en fonction de nn.

Exercice 450. Intégrale trigonométrique n°4

Pour n∈Nn\in \N, on pose In=∫0πexcos⁡(nx) dxI_n= \integrale{0}{\pi}{e^x\cos(nx)}{x}.
  1. Donner les valeurs, pour tout n∈Nn\in \N, de cos⁡(nπ)\cos(n\pi) et sin⁡(nπ)\sin(n\pi).
  2. A l'aide de deux intégrations par parties, montrer que In=(−1)neπ−11+n2I_n = \Frac{(-1)^ne^{\pi}-1}{1+n^2}.
  3. Montrer que pour tout naturel nn, ∣In∣⩽eπ+11+n2\abs{I_n} \leqslant \Frac{e^{\pi}+1}{1+n^2} puis en déduire lim⁡n→+∞In\limn I_n.
Exercice 451. On considère (un)(u_n) la suite définie pour tout n∈Nn \in \N par un=∫01e−nx1+e−x dxu_n = \integrale{0}{1}{\Frac{e^{-nx}}{1+e^{-x}}}{x}.
  1. Montrer que u0+u1=1u_0+u_1=1 puis, en calculant u1u_1, en déduire u0u_0.
  2. Montrer que pour tout n∈Nn \in \N, un⩾0u_n \geqslant 0.
  3. Montrer que pour tout n⩾1n \geqslant 1, un+1+un=1−e−nnu_{n+1}+u_n = \Frac{1-e^{-n}}{n} puis en déduire un⩽1−e−nnu_n \leqslant \Frac{1-e^{-n}}{n}.
  4. En déduire lim⁡n→+∞un\limn u_n.
Exercice 452. On considère la suite (In)(I_n) définie pour tout entier n∈Nn \in \N par In=∫−20xne−x dxI_n = \integrale{-2}{0}{x^ne^{-x}}{x}.
  1. Calculer la valeur exacte de I0I_0.
  2. Montrer que pour tout n∈Nn \in \N, In+1=(−2)n+1e2+(n+1)InI_{n+1} = (-2)^{n+1}e^2+(n+1)I_n.
  3. En déduire les valeurs exactes de I1I_1 et I2I_2.
Exercice 453. Soit (un)(u_n) la suite définie pour n⩾1n \geqslant 1 par un=∫01(1−t)net dtu_n = \integrale{0}{1}{(1-t)^ne^{t}}{t}.
  1. Montrer que pour tout n⩾1n \geqslant 1, un⩾0u_n \geqslant 0.
  2. Montrer que (un)(u_n) est décroissante puis en déduire sa convergence.
  3. Montrer que pour tout n⩾1n \geqslant 1, un⩽en+1u_n \leqslant \Frac{e}{n+1}.
  4. En déduire lim⁡n→+∞un\limn u_n.
Exercice 454. Soit (In)(I_n) la suite définie par In=∫01e−t21+n+t dtI_n = \integrale{0}{1}{\Frac{e^{-t^2}}{1+n+t}}{t}.
  1. Déterminer le sens de variation de cette suite.
  2. Montrer que (In)(I_n) est une suite positive.
  3. Montrer que pour tout t∈[0,1]t \in [0,1], on a e−t21+t+n⩽11+n\Frac{e^{-t^2}}{1+t+n} \leqslant \Frac{1}{1+n} puis en déduire que 0⩽In⩽1n+10 \leqslant I_n \leqslant \Frac{1}{n+1}. Que peut-on en déduire quant à la convergence de (In)(I_n) ?
Exercice 455. Soit (In)(I_n) la suite définie sur N\N par In=∫01xnex2 dxI_n = \integrale{0}{1}{x^ne^{x^2}}{x}.
  1. Montrer que pour tout n⩾1n \geqslant 1, In⩾0I_n \geqslant 0.
  2. Montrer que (In)(I_n) est décroissante.
  3. En déduire que la suite (In)(I_n) est convergente. On note ℓ\ell sa limite.
  4. Déterminer la valeur de ℓ\ell en raisonnant par l'absurde.
Exercice 456. On pose ∀n∈N∗\forall n \in \N^* In=∫01enxex+1 dxI_n = \integrale{0}{1}{\Frac{e^{nx}}{e^x+1}}{x}.
  1. Calculer I1I_1 et I0+I1I_0+I_1. En déduire I0I_0.
  2. Calculer In+1+InI_{n+1}+I_n.
  3. Montrer que (In)(I_n) est croissante.
  4. Déterminer un encadrement de InI_n.
  5. En déduire sa limite.
Exercice 457. On considère la suite (In)(I_n) définie sur N∗\N^* par In=∫15ln⁡xxn dxI_n = \integrale{1}{5}{\Frac{\ln{x}}{x^n}}{x}.
  1. Montrer que pour tout n∈N∗n \in \N^* et x∈[1,5]x \in [1,5], 0⩽ln⁡xxn⩽ln⁡5xn0 \leqslant \Frac{\ln{x}}{x^n} \leqslant \Frac{\ln{5}}{x^n}.
  2. Montrer que pour tout n⩾2n \geqslant 2, ∫151xn dx=1n−1(1−15n−1)\integrale{1}{5}{\Frac{1}{x^n}}{x} = \Frac{1}{n-1}\parenthese{1-\Frac{1}{5^{n-1}}}.
  3. Déterminer la limite de InI_n.
Exercice 458. Soit (un)\un la suite définie par un=∫0ne−x2 dxu_n = \integrale{0}{n}{e^{-x^2}}{x}.
  1. Montrer que (un)\un est croissante.
  2. Montrer que pour tout x⩾0x \geqslant 0, e−x2⩽e−2x+1e^{-x^2} \leqslant e^{-2x+1}.
  3. Montrer que un<e2u_n < \Frac{e}{2}.
  4. En déduire que (un)\un converge vers une limite ℓ∈R\ell \in \R.
Exercice 459. On pose I0=∫0ex dxI_0 = \integrale{0}{e}{x}{x} et pour tout n∈N∗n \in \N^*, In=∫1ex(ln⁡x)n dxI_n = \integrale{1}{e}{x(\ln{x})^n}{x}.
  1. Calculer I0I_0 et I1I_1.
  2. Pour n∈N∗n \in \N^*, établir la relation 2In+nIn−1=e22I_n+nI_{n-1} = e^2. Calculer I2I_2.
  3. Montrer que la suite (In)(I_n) est décroissante. En déduire, en utilisant la relation de 2. l'encadrement e2n+3⩽In⩽e2n+2\Frac{e^2}{n+3} \leqslant I_n \leqslant \Frac{e^2}{n+2}.
  4. Calculer lim⁡n→+∞In\limn I_n et lim⁡n→+∞nIn\limn nI_n.
Exercice 460. On pose, pour tout n∈N∗n \in \N^*, In=1n!∫01(1−x)ne−x dxI_n = \Frac{1}{n!}\integrale{0}{1}{(1-x)^ne^{-x}}{x}.
  1. Montrer que pour tout n∈N∗n \in \N^*, on a 0⩽In⩽1n!∫01e−x dx0 \leqslant I_n \leqslant \Frac{1}{n!}\integrale{0}{1}{e^{-x}}{x} puis en déduire lim⁡n→+∞In\limn I_n.
  2. Montrer en utilisant une intégration par parties que pour tout n∈N∗n \in \N^*, In+1=1(n+1)!−InI_{n+1} = \Frac{1}{(n+1)!}-I_n.

Exercice 461. Intégrale à paramètre

Soit a∈[0;+∞[a \in \Rp. Pour k∈Nk \in \N, on note Ik(a)=∫0a(t−a)k(1+t)k+1 dtI_k(a) = \integrale{0}{a}{\Frac{(t-a)^k}{(1+t)^{k+1}}}{t}. A l'aide d'une intégration par parties, montrer que Ik+1(a)=(−1)k+1ak+1k+1+Ik(a)I_{k+1}(a) = \Frac{(-1)^{k+1}a^{k+1}}{k+1}+I_k(a).