Exercices divers

Exercice 6016. Quelles sont les matrices orthogonales triangulaires supérieures ?
Exercice 6017. Soient $R\in O_d(\mathbb{R})$ et $\tau\in \mathbb{R}^d$.\\ On définit $\varphi(x)=Rx+\tau$.\\
  1. Montrer que \[ |\varphi(a)-\varphi(b)|=|a-b| \]
  2. Montrer que $\varphi$ est bijective et déterminer son inverse.\\
Exercice 6018. Soient $F$ un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel euclidien $E$ et $f\in O(E)$ tels que \[ f(F)\subset F. \] Montrer que \[ f(F)=F \quad \text{et} \quad f(F^\perp)=F^\perp. \]
Exercice 6019. Soient $E$ un espace vectoriel euclidien et $f:E\to E$ une application telle que \[ \forall x,y\in E,\quad (f(x)|f(y))=(x|y). \] En observant que l’image par $f$ d’une base orthonormée est une base orthonormée, montrer que $f$ est linéaire.
Exercice 6020. Soient $A$ et $B$ dans $O_n(\mathbb{R})$ telles que \[ \frac{A+2B}{3}\in O_n(\mathbb{R}). \] Que dire de $A$ et $B$ ?
Exercice 6021. Soit $A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}$ une matrice réelle orthogonale. Montrer que \[ \left|\Sum_{1\leqslant i,j\leqslant n}a_{i,j}\right|\leqslant n. \]
Exercice 6022. Soit $A\in M_n(\mathbb{R})$ une matrice inversible vérifiant \[ A{}^tA={}^tAA. \] Montrer que la matrice \[ \Omega={}^tA^{-1}A \] est orthogonale.
Exercice 6023. Soient $u$ et $v$ deux vecteurs unitaires d’un plan vectoriel euclidien orienté.\\ Quels sont les isométries vectorielles qui envoient $u$ sur $v$ ?
Exercice 6024. À quelle condition une réflexion $\sigma$ et une rotation $r$ du plan commutent-elles ?
Exercice 6025. Soit $A\in \mathcal{M}_p(\mathbb{K})$ avec $\mathbb{K}=\R$ ou $\C$. On note \[ \forall n\in\N^*,\quad B_n=\left(I_p+\frac{A}{n}\right)^n. \] Montrer que \[ B_n\longrightarrow \exp(A). \]
Exercice 6026. Soient $A,B,C\in M_d(\mathbb{R})$.\\ On définit \[ \langle A,B\rangle=\mathrm{tr}(A^TB). \]
  1. Montrer que $\langle \cdot,\cdot\rangle$ est un produit scalaire sur $M_d(\mathbb{R})$.\\
  2. Montrer que $\mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(BA)$.\\
  3. Montrer que \[ \langle A,BC\rangle=\langle B^TA,C\rangle=\langle AC^T,B\rangle \]
Exercice 6027. Soit $f:E\to E$ une application vérifiant \[ \forall x,y\in E,\quad (f(x)|f(y))=(x|y). \] Montrer que $f$ est linéaire.
Exercice 6028. Soient $a$ un vecteur unitaire d’un espace vectoriel euclidien $E$, $\alpha$ un réel et $f_\alpha:E\to E$ l’application définie par \[ f_\alpha(x)=x+\alpha(x|a)a. \]
  1. Montrer que $\{f_\alpha\mid \alpha\in\mathbb{R}\}$ est stable pour le produit de composition et observer que $f_\alpha$ et $f_\beta$ commutent.
  2. Calculer $f_\alpha^p$ pour $p\in\mathbb{N}$.
  3. Montrer que $f_\alpha$ est inversible si, et seulement si, $\alpha\neq -1$. Quelle est la nature de $f_{-1}$ ?
  4. Montrer que \[ f_\alpha\in O(E)\Longleftrightarrow \alpha=0 \quad \text{ou} \quad \alpha=-2. \] Quelle est la nature de $f_{-2}$ ?
Exercice 6029. Soient $E$ un espace vectoriel euclidien et $u,v,w$ trois vecteurs unitaires.\\ On pose \[ \alpha=\mathrm{Ecart}(u,v),\quad \beta=\mathrm{Ecart}(v,w) \quad \text{et} \quad \theta=\mathrm{Ecart}(u,w). \] En projetant $v$ sur un plan contenant $u$ et $w$, montrer que \[ \theta\leqslant \alpha+\beta. \]
Exercice 6030. Soit $E$ un espace vectoriel normé. \\ Soient $U$ et $V$ deux parties de $E$. \\ A-t-on toujours : \[ \overline{U\cap V}=\overline{U}\cap \overline{V} ? \] Et si $U$ est ouvert ? \\ Montrer que si $U$ est ouvert et que $U$ et $V$ sont denses dans $E$, alors $U\cap V$ est dense dans $E$.
Exercice 6031. Soient $(x_i)$ et $(y_i)$ dans $\mathbb{R}^d$.\\ On pose \[ J(\tau,R)=\Sum |y_i-(Rx_i+\tau)|^2 \] et \[ x=\frac{1}{n}\Sum x_i,\quad y=\frac{1}{n}\Sum y_i \]
  1. Montrer que \[ J(\tau,R)=\Sum |y_i-y-R(x_i-x)|^2+n|y-Rx-\tau|^2 \]
  2. En déduire le minimum en $\tau$ pour $R$ fixé.\\
Exercice 6032. Soit $u\in \mathbb{R}^d$.\\ On pose \[ T(u)_i=\mathbb{V}(\langle L_i,u\rangle) \]
  1. Montrer qu’il existe $c>0$ tel que \[ \|T(u)\|_1 \leq c\|u\|_2^2 \]
Exercice 6033. Soient $(a,b,c)\in\mathbb{R}^3$, $\sigma=ab+bc+ca$, $S=a+b+c$ et \[ M= \begin{pmatrix} a & b & c\\ c & a & b\\ b & c & a \end{pmatrix}. \]
  1. Montrer que \[ M\in O_3(\mathbb{R}) \Longleftrightarrow \sigma=0 \quad \text{et} \quad S\in\{-1,1\}. \]
  2. Montrer que \[ M\in SO_3(\mathbb{R}) \Longleftrightarrow \sigma=0 \quad \text{et} \quad S=1. \]
  3. Montrer que $M$ est dans $SO_3(\mathbb{R})$ si, et seulement si, il existe $k\in\left[0,\frac{4}{27}\right]$ tel que $a,b,c$ sont les racines du polynôme \[ X^3-X^2+k. \]
Exercice 6034.
  1. Soit $G$ un sous-groupe fini de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ tel que \[ \sum_{g \in G}\tr(g)=0. \] Montrer que \[ \sum_{g \in G}g=O_n. \]
  2. Soit $G$ un sous-groupe fini de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$, et $V$ un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^n$ stable par les éléments de $G$.\\ Montrer qu’il existe un supplémentaire de $V$ dans $\mathbb{R}^n$ stable par tous les éléments de $G$.
Exercice 6035. Soient $n$ et $p$ deux entiers naturels non nuls. Pour tout $M \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})$, on pose \[ \|M\|_{n,p}=\sqrt{\mathrm{Tr}(M^TM)}. \] Si $n$ et $p$ sont fixés et qu'il n'y a pas d'ambiguïté, on note simplement $\|M\|$.\\ On veut démontrer que l'application $M \mapsto \|M\|$ est une norme sur $\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})$.\\
  1. Démontrer que les propriétés de positivité, d'homogénéité et de séparation sont vraies.\\
  2. Pour démontrer l'inégalité triangulaire, on considère, pour $(U,V) \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})^2$, la fonction \[ P : x \mapsto \|U+xV\|^2. \] Exprimer $P$ comme un polynôme de degré $2$ en $x$.\\
  3. En étudiant le signe de $P$, en déduire l'inégalité de Cauchy-Schwarz \[ \forall (U,V) \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})^2,\quad \mathrm{Tr}(U^TV) \leqslant \|U\|\,\|V\|. \]
  4. En déduire l'inégalité triangulaire.\\
  5. Soient $A,B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. Démontrer que si $(A_1,\ldots,A_n)$ sont les colonnes de $A$ et $(B_1,\ldots,B_n)$ celles de $B$, alors \[ \|AB\|_{n,n}^2=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\mathrm{Tr}(A_i^TB_j)^2. \]
  6. En déduire que lorsque l'on considère des matrices carrées, la norme $\|.\|$ est une norme d'algèbre, c'est-à-dire que \[ \forall (A,B) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})^2,\quad \|AB\| \leqslant \|A\|\,\|B\|. \]
  7. Démontrer, en cherchant un exemple pour $n=2$, que l'on n'a en général pas égalité entre $\|AB\|$ et $\|A\|\,\|B\|$.\\
  8. On dit qu'une suite de matrices $(X_k)_{k \in \mathbb{N}} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})^{\mathbb{N}}$ converge vers une matrice $A$ si elle converge coefficient par coefficient, c'est-à-dire si \[ \forall (i,j) \in \llbracket 1,n \rrbracket^2,\quad [X_k]_{ij} \to [A]_{ij}. \] Démontrer que si \[ M=\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1/2 \end{pmatrix}, \] alors la suite $(M^k)_{k \in \mathbb{N}}$ converge vers une matrice dont on précisera les coefficients.\\
  9. Démontrer que $(X_k)_{k \in \mathbb{N}} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})^{\mathbb{N}}$ converge vers $A$ si, et seulement si, \[ \|X_k-A\| \to 0. \]
  10. Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ une matrice inversible. On pose \[ X_0 \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \quad et \quad \forall k \in \mathbb{N},\quad X_{k+1}=X_k(2I_n-AX_k). \] On pose également \[ \forall k \in \mathbb{N},\quad W_k=I_n-X_kA. \] Montrer que $(W_k)_{k \in \mathbb{N}}$ vérifie \[ \forall k \in \mathbb{N},\quad W_{k+1}=W_k^2, \] puis en déduire une expression de $W_k$ pour tout $k \in \mathbb{N}$.\\
  11. En déduire que la méthode de Newton pour les matrices converge localement, c'est-à-dire qu'il existe $\varepsilon > 0$ tel que pour tout $X_0$ tel que \[ \|I_n-X_0A\| \leqslant \varepsilon, \] alors la suite $(X_k)_{k \in \mathbb{N}}$ converge vers $A^{-1}$.\\
  12. Dans cette question, on suppose que $A$ est à diagonale strictement dominante, c'est-à-dire que \[ \forall i \in \llbracket 1,n \rrbracket,\quad |a_{ii}|>\sum_{\substack{1 \leqslant j \leqslant n\\j \neq i}} |a_{ij}|. \] Démontrer que $A$ est inversible.\\
  13. On suppose maintenant que $A$ est à diagonale fortement dominante, c'est-à-dire que \[ \forall i \in \llbracket 1,n \rrbracket,\quad |a_{ii}|>n\sum_{\substack{1 \leqslant j \leqslant n\\j \neq i}} |a_{ij}|. \] Démontrer qu'en prenant \[ X_0=\begin{pmatrix} \frac{1}{a_{11}} & 0 & \cdots & 0\\ 0 & \frac{1}{a_{22}} & \ddots & \vdots\\ \vdots & \ddots & \ddots & 0\\ 0 & \cdots & 0 & \frac{1}{a_{nn}} \end{pmatrix}, \] alors la suite $(X_k)_{k \in \mathbb{N}}$ définie précédemment converge vers $A^{-1}$
Exercice 6036. Soient $n \geqslant 2$, $\|\cdot\|$ une norme sur $M_n(\C)$ et $\|\!|\!|\cdot \|\!|\!|$ la norme subordonnée associée. Déterminer les sous-groupes de $(\mathrm{GL}_n(\C),\times)$ qui sont inclus dans la boule fermée de centre $I_n$ et de rayon $\Frac{1}{2}$ pour la norme $\|\!|\!|\cdot \|\!|\!|$.