Calcul de dérivées

Exercice 586. Calculer la dérivée de $f(x) = (x+1)e^x$.
Exercice 587. On considère la fonction $f$ définie sur $]0,1[\cup]1,+\infty[$ par $f(x)=\Frac{10(x-8)}{x(x-1)}$.\\ Calculer $f'(x)$ et donner une expression sous forme d’une fraction rationnelle.
Exercice 588. Soit $f$ définie sur $I=[-3;4]$ par $f(x)=\Frac{e^x}{1+x^2}$.\\ Déterminer $f'(x)$ pour tout $x\in I$.
Exercice 589. Soit $f$ définie sur $[0 \; ; \; +\infty[$ par $f(x)=x+1+xe^{-x}$.\\ Calculer, pour tout $x \in [0 \; ; \; +\infty[$, $f'(x)$ et $f''(x)$.
Exercice 590. Soient $f(x)=x-e^x$,\; $g(x)=(1-x)e^x$,\; et $h(x)=f(x)-g(x)$ sur $\R$.\\ Montrer que, pour tout $x \in \R$,\; $h'(x)=1-g(x)$.
Exercice 591. Soient $g_1(x)=xe^{-x}$ et $g_2(x)=x^2e^{-x}$ définies sur $\R$.\\ Calculer, pour tout $x \in \R$, $g_1'(x)$ et $g_2'(x)$.
Exercice 592. Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=x-(x^2+4x+3)e^{-x}$. \\ Calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x)=(x^2+2x-1)e^{-x}+1$.
Exercice 593. Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=\Frac{e^x-e^{-x}}{2}$. \\ Calculer $f'(x)$ et simplifier l'expression obtenue.
Exercice 594. Soit $f$ définie sur $\Rp$ par $f(x) = 10e^{u(x)}$ avvec $u$ la fonction définie sur $\Rp$ par $u(x) = -e^{2-\frac{x}{10}}$. \\ Montrer que pour tout $x \in \Rp$, $f'(x) = -u(x)e^{u(x)}$.
Exercice 595. Calculer la dérivée de $f(x) = \Frac{x}{e^x-x}$.
Exercice 596. Soit $f(x) = \Frac{1}{e^x+e^{-x}}$. \\ Calculer $f'(x)$.
Exercice 597. On considère la fonction $f$ définie sur $]0,1[\cup]1,+\infty[$ par $f(x)=\Frac{10(x-8)}{x(x-1)}$.\\ Montrer que $f'(x)=0$ équivaut à une équation du second degré, puis la résoudre.
Exercice 598. On considère la fonction $f$ définie sur $]0,1[\cup]1,+\infty[$ par $f(x)=\Frac{10(x-8)}{x(x-1)}$.\\ Montrer que $f'(x)$ s’annule pour $\alpha=8+2\sqrt{14}$ et pour $\beta=8-2\sqrt{14}$.
Exercice 599. Soit $k>0$ et $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=(x-1)e^{-kx}+1$.\\ Démontrer que pour tout réel $x$, $f'(x)=e^{-kx}(-kx+k+1)$.
Exercice 600. Soit $k>0$ et $g$ définie sur $\R$ par $g(x)=\Frac{4}{1+e^{-kx}}$.\\ Prouver que $g'(0)=k$.
Exercice 601. Soit $g(x)=(x+2)e^{x-4}-2$ et $f(x)=x^2-x^2e^{x-4}$ définies sur $\R$.\\ Calculer $f'(x)$ puis montrer que, pour tout $x \in \R$, on a $f'(x)=xg(x)$.
Exercice 602. Soit $f(x)=x^2e^{x-1}-\Frac{x^2}{2}$ définie sur $\R$.\\ Calculer $f'(x)$ puis montrer que, pour tout $x \in \R$, $f'(x)=xg(x)$ où $g(x)=(x+2)e^{x-1}-1$.
Exercice 603. Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x)=(x^2+2x-1)e^{-x}+1$. \\ Calculer $g'(x)$ puis montrer que $g'(x)$ et $(3-x^2)$ ont le même signe.
Exercice 604. Soit $g$ définie sur $\Rpe$ par $g(x)=\Frac{e^x-1}{xe^{2x}}$.\\ Calculer $g'(x)$ pour tout $x>0$.