Calcul d'intégrales

Exercice 424. Calcul simple

\\ Calculer l'intégrale $I = \displaystyle \integrale{0}{\frac{\pi}{2}}{\cos{x}}{x}$.

Exercice 425. Calcul simple n°2

\\ Calculer l'intégrale $I = \displaystyle \integrale{0}{\frac{1}{2}}{\sin(\pi x)}{x}$.

Exercice 426. Calcul simple n°3

\\ Pour tout réel $a > 1$, calculer l'intégrale $I(a) = \integrale{1}{a}{\parenthese{\Frac{1}{t}-e^{-t}}}{t}$.

Exercice 427. Reconnaître une forme

\\ Calculer l'intégrale $I = \integrale{0}{1}{\Frac{e^{2x}+x}{e^{2x}+x^2}}{x}$.

Exercice 428. Reconnaître une forme n°2

\\ Calculer $\integrale{1}{e}{\Frac{\cos(\ln{x})}{x}}{x}$.

Exercice 429. Décomposition en éléments simples

\\ On pose $I = \integrale{0}{1}{\Frac{x^2}{x+1}}{x}$. \\ Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ tels que pour tout $x \neq 1$, $\Frac{x^2}{x+1} = ax+b+\Frac{c}{x+1}$ puis calculer $I$.

Exercice 430. Décomposition en éléments simples n°2

\\ On note $I = \integrale{4}{6}{\Frac{5x-2}{x-3}}{x}$ et $f(x) = \Frac{5x-2}{x-3}$ sur $]3,+\infty[$. \\
  1. Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que $\forall x \in ]3,+\infty[$, $f(x) = a + \Frac{b}{x-3}$. \\
  2. Donner une primitive $F$ de $f$ sur $]3,+\infty[$. \\
  3. En déduire la valeur exacte de $I$.

Exercice 431. Intégrales trigonométriques

\\ On considère les intégrales suivantes : $I = \integrale{0}{\pi}{\cos^2{x}}{x}$ et $J = \integrale{0}{\pi}{\sin^2{x}}{x}$.\\ Calculer $I+J$ et $I-J$ puis en déduire les valeurs de $I$ et $J$.

Exercice 432. Intégrales trigonométriques n°2

\\ Soient les deux intégrales définies par : $I = \integrale{0}{\pi}{e^x \sin x}{x}$ et $J = \integrale{0}{\pi}{e^x \cos x}{x}$.\\
  1. Démontrer que $I = -J$ et que $I = J + e^\pi + 1$.\\
  2. En déduire les valeurs exactes de $I$ et de $J$.

Exercice 433. Intégration par partie

\\ On considère les deux intégrales $I = \displaystyle \integrale{0}{1}{\Frac{xe^x}{(1+e^x)^2}}{x}$ et $J = \displaystyle \integrale{0}{1}{\Frac{1}{1+e^x}}{x}$. \\
  1. Exprimer $I$ en fonction de $J$ à l'aide d'une intégration par parties. \\
  2. Montrer que $\forall x \in \R$, $\Frac{1}{1+e^x} = \Frac{e^{-x}}{e^{-x}+1}$. \\
  3. En déduire les valeurs de $J$ puis $I$.

Exercice 434. Intégration par partie n°2

\\ En utilisant l'intégration par parties, calculer $\integrale{-3}{0}{xe^x}{x}$ puis $\integrale{-3}{0}{x^2e^x}{x}$.

Exercice 435. Intégration par partie n°3

\\ A l'aide d'une intégration par parties, calculer $\integrale{0}{1}{(1-x)e^{-x}}{x}$.

Exercice 436. Application de l'intégration par parties

\\
  1. Calculer l'intégrale $I = \integrale{1}{e}{\ln{t}}{t}$. \\
  2. En déduire l'intégrale $J = \integrale{1}{e}{(\ln{x})^2}{x}$.

Exercice 437. Application de l'intégration par parties n°2

\\ Calculer l'intégrale $I = \displaystyle \integrale{0}{\pi}{x \sin(2x)}{x}$.

Exercice 438. Application de l'intégration par parties n°3

\\ Calculer l'intégrale $I(n) = \integrale{0}{\ln(n)}{(2x+1)e^{-x}}{x}$.

Exercice 439. Application de l'intégration par parties n°4

\\ Soit $f$ définie sur $\Rpe$ par $f(x) = \Frac{5\ln{x}}{\sqrt{x}}$. \\ Calculer l'intégrale $\integrale{1}{e^2}{f(x)}{x}$.

Exercice 440. Intégrale d'une fonction définie par morceaux

\\ Soit $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \begin{cases} x^2+x \quad si \; x < -1 \\ 2x^3-x+1 \quad si \; x \geqslant -1 \end{cases}$. \\ Vérifier que $f$ est continue sur $[-4;1]$ puis calculer $\integrale{-4}{1}{f(t)}{t}$.

Exercice 441. Valeur moyenne

\\ Calculer la valeur moyenne sur $[-2,3]$ de la fonction $f(x) = 2+\cos{\parenthese{\ps{2}x}}$.

Exercice 442. Valeur moyenne n°2

\\ Montrer que la valeur moyenne de toute fonction $f$ affine sur $[a,b]$ vaut $\Frac{f(a)+f(b)}{2}$.