Fractions rationnelles

Exercice 4579. Montrer qu'il n'existe pas de fraction rationnelle $F$ telle que $F^2=X$.
Exercice 4580. Étudier les suites :\\
  • $\parenthese{\Sum_{k=1}^{n}\Frac{1}{k(k+1)}}_{n\in\mathbb{N}^*}$.\\
  • $\parenthese{\Sum_{k=3}^{n}\Frac{1}{k^2+k-6}}_{n\geqslant 3}$.
Exercice 4581. Soit $f : ]0,+\infty[ \to \R$ définie par \[ f(x)=\frac{x^4+x^3+4x^2+2x+2}{x^3+x}. \] En effectuant une décomposition en éléments simples, déterminer \[ \integrale{1}{2}{f(x)}{x}. \]
Exercice 4582. Soit $f : ]1,+\infty[ \to \R$ définie par \[ f(x)=\frac{5x^2+21x+22}{(x-1)(x+3)^2}. \] En effectuant une décomposition en éléments simples, déterminer la primitive de $f$ sur $]1,+\infty[$ qui s'annule en $2$.
Exercice 4583. En effectuant une décomposition en éléments simples, déterminer pour tout $n \geqslant 1$ la dérivée $n$-ième de la fonction \[ f(x)=\frac{1}{x^2-3x+2}, \] là où elle est bien définie.
Exercice 4584. Décomposer les fractions rationnelles suivantes : \\
  1. $\Frac{X^2+2X+5}{X^2-3X+2}$ sur $\R$.\\
  2. $\Frac{X^2+3X+1}{(X-1)^2(X-2)}$ sur $\R$.\\
  3. $\Frac{1}{X^4-1}$ sur $\C$.
Exercice 4585. Exprimer la dérivée d'ordre $n$ de \[ \Frac{1}{X(X^2+1)}. \]
Exercice 4586. Calculer la fraction rationnelle \[ F(X)=\sum_{k=0}^{n-1}\Frac{1}{X-\omega_k} \qquad\text{où}\qquad \omega_k=\mathrm{e}^{\frac{2ik\pi}{n}}. \]
Exercice 4587. Soit $P\in\mathbb{R}_n[X]$ scindé à racines simples $(x_1,\dots,x_n)$.\\ Montrer \[ \Sum_{k=1}^{n}\Frac{P''(x_k)}{P'(x_k)}=0. \]
Exercice 4588. Soit $P\in\mathbb{C}[X]$ un polynôme scindé à racines simples $x_1,\dots,x_n$.\\
  1. Former la décomposition en éléments simples de $\Frac{P''}{P}$.\\
  2. En déduire que \[ \Sum_{k=1}^{n}\Frac{P''(x_k)}{P'(x_k)}=0. \]
Exercice 4589. Soit $F(X)\in\mathbb{C}(X)$. Montrer que $F'(X)\neq \dfrac{1}{X}$.
Exercice 4590. Soit $P\in\mathbb{C}[X]$ un polynôme scindé à racines simples $x_1,\dots,x_n$.\\
  1. Former la décomposition en éléments simples de la fraction $\Frac{1}{P}$.\\
  2. On suppose $P(0)\neq 0$. Observer \[ \Sum_{k=1}^{n}\Frac{1}{x_kP'(x_k)}=-\Frac{1}{P(0)}. \]
Exercice 4591. On pose $\omega_k=e^{\frac{2ik\pi}{n}}$ avec $k\in\llbracket 0,n-1\rrbracket$ et $n\geqslant 2$.\\ Réduire au même dénominateur \[ F=\Sum_{k=0}^{n-1}\Frac{1}{X-\omega_k}. \]
Exercice 4592. Soit la fraction \[ F=\Frac{1}{X(X+1)}. \]
  1. Réaliser la décomposition en éléments simples de $F$.\\
  2. En déduire une simplification, pour $n\geqslant 1$, de \[ \Sum_{k=1}^{n}\Frac{1}{k(k+1)}. \]
  3. Procéder de même pour calculer \[ \Sum_{k=1}^{n}\Frac{1}{k(k+1)(k+2)}. \]
Exercice 4593. Décomposer en éléments simples dans $\mathbb{C}(X)$ la fraction rationnelle \[ \Frac{X^{n-1}}{X^n-1}. \]
Exercice 4594. Déterminer un supplémentaire de $\mathbb{K}[X]$ dans $\mathbb{K}(X)$.
Exercice 4595. Soient $n\in\mathbb{N}^*$ et $P(X)\in\mathbb{C}[X]$ un polynôme à racines simples $z_1,\dots,z_n$.\\
  1. Calculer $\Sum_{k=1}^{n}\Frac{1}{P'(z_k)}$.\\
  2. Lorsque les $z_k$ sont non nuls, calculer $\Sum_{k=1}^{n}\Frac{1}{z_kP'(z_k)}$.
Exercice 4596. Soit $P(X)$ un polynôme scindé dans $\mathbb{C}[X]$.\\
  1. Déterminer en fonction des racines et de leurs multiplicités dans $P(X)$ la D.E.S. de $\Frac{P'(X)}{P(X)}$.\\
  2. En déduire qu'il n'existe aucun polynôme $P(X)\in\mathbb{R}[X]$ tel que $\Frac{P'(X)}{P(X)}=\Frac{X^2+1}{X^3-1}$.\\
  3. Résoudre dans $\mathbb{R}[X]$ : $\Frac{P'(X)}{P(X)}=\Frac{2}{X-1}+\Frac{3}{X}$.
Exercice 4597. Soit $P \in \C[X]$ un polynôme de degré $n \geqslant 2$ qui possède $n$ racines distinctes $a_1,a_2,\dots,a_n$. Montrer que :\\ \[ \Sum_{k=1}^{n}\Frac{1}{P'(a_k)}=0. \]
Exercice 4598. Décomposer les fractions suivantes en éléments simples sur $\mathbb{C}$ et sur $\mathbb{R}$.\\
  1. $\dfrac{X}{X^2-4}$.\\
  2. $\dfrac{X+1}{X^4+1}$.\\
  3. $\dfrac{X^4+1}{X^4-1}$.\\
  4. $\dfrac{X^2+1}{X^2(X+1)^2}$.\\
Exercice 4599. Calculer les dérivées d’ordre $n$ des fonctions suivantes en précisant le domaine de validité.\\
  1. $g_1(x)=\dfrac1{(x-1)^2(x-2)^2}$.\\
  2. $g_2(x)=\dfrac1{(x^2-1)^2}$.\\
Exercice 4600. Calculer \[ \integrale{0}{1/2}{\dfrac{t^5}{t^4-1}}{t}. \]
Exercice 4601. Réaliser l’étude et tracer le graphe des fonctions suivantes.\\
  1. $f(x)=\dfrac{2x^3-5x^2-2x+6}{x^2-3x+2}$.\\ On donnera la présence d’une asymptote oblique.\\
  2. $g(x)=\dfrac{x^4-x^3-2x^2+3x-2}{(x-1)^2}$.\\ On donnera la présence d’une parabole asymptote.
Exercice 4602. Calculer la somme \[ u_n=\Sum_{k=2}^{n}\dfrac{k}{1+k^2+k^4} \] ainsi que sa limite quand $n$ tend vers $+\infty$.
Exercice 4603. Soit $n \in \mathbb{N}^\ast$.\\ Simplifier \[ \Sum_{k=1}^{n}\dfrac1{k(k+1)(k+2)}. \]
Exercice 4604. On considère la fraction rationnelle \[ F=\dfrac{X^2+5X-2}{X^4-2X^3-X^2+2X}. \] On pose, pour tout $n \geqslant 3$, \[ S_n=\Sum_{k=3}^{n}F(k). \]
  1. Factoriser le dénominateur de $F$.\\
  2. Décomposer $F$ en éléments simples dans $\mathbb{R}(X)$.\\
  3. Calculer $S_n$ et déterminer sa limite.
Exercice 4605. Soit $P \in \C[X]$. \\
  1. Décomposer en éléments simples $\Frac{P'}{P}$. \\
  2. Déterminer les polynômes $P \in \C[X]$ tels que $\Frac{P'}{P}$ soit une fraction rationnelle simple.
Exercice 4606. Soient $p$ et $n$ deux entiers avec \[ 0 \leqslant p < n. \] Former la décomposition en éléments simples dans $\mathbb{C}(X)$ de \[ \Frac{X^p}{X^n-1}. \]
Exercice 4607. Soient $n \in \mathbb{N}^{*}$, $z_{1},\ldots,z_{n}\in\mathbb{C}$ deux à deux distincts, $P=\Prod_{i=1}^{n}(X-z_{i})$.\\ \\ Calculer, pour tout $k\in\{0,\ldots,n-1\}$, $A_{k}=\Sum_{i=1}^{n}\Frac{z_{i}^{k}}{P'(z_{i})}$.
Exercice 4608. Soit $F\in\mathbb{K}(X)$ de représentant irréductible $\Frac{P}{Q}$.\\ Montrer que $F$ est paire si, et seulement si, les polynômes $P$ et $Q$ sont tous deux pairs.
Exercice 4609. Décomposer en éléments simples dans $\mathbb{R}(X)$ les fractions rationnelles $F$ suivantes :\\
  1. $F=\Frac{X^{3}}{(X-1)(X-2)}$.\\
  2. $F=\Frac{X}{(X-1)^{2}(X+2)}$.\\
  3. $F=\Frac{X^{5}+1}{X^{2}(X-1)^{2}}$.\\
  4. $F=\Frac{X^{4}+X+1}{X(X^{2}+1)^{3}}$.
Exercice 4610. Donner les D.E.S. dans $\mathbb{C}(X)$ de :\\
  • $\Frac{X-2}{(X^2-1)^2(X^2+X+1)}$.\\
  • $\Frac{n!}{X(X+1)\cdots(X+n)}$.\\
  • $\Frac{1}{(X-1)(X^n-1)}$.
Exercice 4611. Soit $n\in\mathbb{N}^*$. Effectuer les D.E.S. dans $\mathbb{C}(X)$ de :\\
  • $F_1(X)=\Frac{X^{2n}+1}{X^{4n}+1}$.\\
  • $F_2(X)=\Frac{X^{2n}+X^n+3}{X^{2n}+X^n-2}$.
Exercice 4612. Soient $n\in\mathbb{N}^*$ et $\omega=e^{\frac{2i\pi}{n}}$.\\
  1. Soit $P\in\mathbb{C}[X]$ vérifiant $P(\omega X)=P(X)$.\\ Montrer qu'il existe un polynôme $Q\in\mathbb{C}[X]$ tel que $P(X)=Q(X^n)$.\\
  2. En déduire la réduction au même dénominateur de la fraction rationnelle \[ F=\Sum_{k=0}^{n-1}\Frac{X+\omega^k}{X-\omega^k}. \]
Exercice 4613. Soient $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ des complexes deux à deux distincts et \[ P=(X-\lambda_1)\dots(X-\lambda_n). \] Exprimer en fonction de $P$ et de ses dérivées les fractions \[ F=\Sum_{k=1}^{n}\Frac{1}{X-\lambda_k},\quad G=\Sum_{k=1}^{n}\Frac{1}{(X-\lambda_k)^2},\quad H=\Sum_{1\leqslant k,\ell\leqslant n \atop k\neq \ell}\Frac{1}{(X-\lambda_k)(X-\lambda_\ell)}. \]
Exercice 4614. Soient $n\in\mathbb{N}^*$ et $z_1,\dots,z_n\in\mathbb{C}$ deux à deux distincts.\\ On pose \[ Q=\Prod_{k=1}^{n}(X-z_k). \]
  1. Pour $p\in\llbracket 0,n-1\rrbracket$, exprimer la décomposition en éléments simples de $\Frac{X^p}{Q}$ à l'aide des $Q'(z_k)$.\\
  2. En déduire, pour $p\in\llbracket 0,n-1\rrbracket$, la valeur de \[ \Sum_{k=1}^{n}\Frac{z_k^p}{Q'(z_k)}. \]
Exercice 4615. Soit \[ F=\Frac{1}{(X-1)^3(X+1)^3}. \]
  1. Quelle relation existe entre la partie polaire de $F$ en $1$ et celle en $-1$ ?\\
  2. Former la décomposition en éléments simples de la fraction $F$.\\
  3. En déduire un couple $(U,V)\in\mathbb{R}[X]^2$ tel que \[ (X+1)^3U+(X-1)^3V=1. \]
Exercice 4616. Soit \[ F=\Frac{1}{X^2+1}\in\mathbb{C}(X). \]
  1. En réalisant la décomposition en éléments simples de $F$, exprimer $F^{(n)}$.\\
  2. Montrer qu'il existe $P_n\in\mathbb{R}_n[X]$ tel que \[ F^{(n)}=\Frac{P_n}{(X^2+1)^{n+1}}. \]
  3. Déterminer les zéros de $P_n$.
Exercice 4617. Soient $n\in\mathbb{N}$ tel que $n\geqslant 2$ et $p\in\llbracket 0,n-1\rrbracket$.\\ On pose pour $k\in\llbracket 0,n-1\rrbracket$, \[ \omega_k=\exp\left(\Frac{2ik\pi}{n}\right). \] Mettre sous forme irréductible la fraction \[ \Sum_{k=0}^{n-1}\Frac{\omega_k^p}{X-\omega_k}. \]
Exercice 4618. Soit $F\in\mathbb{K}(X)$.\\
  1. Soit $a$ un zéro d'ordre $\alpha\geqslant 1$ de $F$. Montrer que $a$ est zéro d'ordre $\alpha-1$ de $F'$.\\
  2. Comparer les pôles de $F$ et de $F'$, ainsi que leur ordre de multiplicité.
Exercice 4619. Soient $p$ et $q$ deux entiers naturels non nuls premiers entre eux.\\ Déterminer les racines et les pôles de \[ F=\Frac{X^p-1}{X^q-1} \] en précisant les multiplicités respectives.
Exercice 4620. Soit $F\in\mathbb{K}(X)$.\\ Montrer que \[ \deg(F') < \deg(F)-1 \Longrightarrow \deg(F)=0. \]
Exercice 4621. Effectuer la décomposition en éléments simples dans $\mathbb{C}(X)$ des fractions rationnelles suivantes :\\
  1. $\Frac{X^2+2X+5}{X^2-3X+2}$.\\
  2. $\Frac{X^2+1}{(X-1)(X-2)(X-3)}$.\\
  3. $\Frac{1}{X(X-1)^2}$.\\
  4. $\Frac{2X}{X^2+1}$.\\
  5. $\Frac{1}{X^2+X+1}$.\\
  6. $\Frac{4}{(X^2+1)^2}$.\\
  7. $\Frac{3X-1}{X^2(X+1)^2}$.\\
  8. $\Frac{1}{X^4+X^2+1}$.\\
  9. $\Frac{3}{(X^3-1)^2}$.
Exercice 4622. Soit $n\in\mathbb{N}^*$ et $k\in\llbracket 0,n-1\rrbracket$.\\
  1. Mettre la fraction rationnelle $F(X)=\Sum_{\omega\in U_n}\Frac{\omega^k}{X-\omega}$ sous forme irréductible.\\
  2. Mettre la fraction rationnelle $G(X)=\Sum_{\omega\in U_n}\Frac{\omega^k}{X^2-\omega}$ sous forme irréductible.
Exercice 4623. \\
  1. Montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}$, il existe un seul polynôme $P_n(X)$ tel que : $\forall \theta\in\mathbb{R},\;P_n(\cos\theta)=\cos(n\theta)$.\\
  2. Effectuer la D.E.S. dans $\mathbb{R}(X)$ de $\Frac{1}{P_n(X)}$.
Exercice 4624. Soit $P = (X+1)^7 - X^7 - 1$. \\
  1. Calculer $P(j)$ où $j = \exp\!\left(\frac{2i\pi}{3}\right)$. En déduire la factorisation de $P$ en facteurs irréductibles dans $\mathbb{R}[X]$. \\
  2. Donner la décomposition en éléments simples dans $\mathbb{R}(X)$ de $\dfrac{(X^3-1)^4}{(X+1)^7 - X^7 - 1}$.
Exercice 4625. Décomposer en éléments simples dans $\mathbb{C}(X)$ les fractions rationnelles suivantes.\\
  1. $F_1=\dfrac{X^2+1}{X(X+j)(X-1)^2}$.\\
  2. $F_2=\dfrac1{X^2(X-i)^2}$.\\
Exercice 4626. Décomposer en éléments simples dans $\mathbb{R}(X)$ les fractions rationnelles suivantes.\\
  1. $F_1=\dfrac1{X^3(X^2-1)}$.\\
  2. $F_2=\dfrac1{X(X^2+1)(X^2+X+1)(X^2-X+1)}$.\\
  3. $F_3=\dfrac{3X^2-8X+5}{X^3-4X^2+5X-2}$.\\
  4. $F_4=\dfrac{X^5}{(X-1)^4}$.\\
  5. $F_5=\dfrac{X^6}{(X^2+X+1)^2}$.\\
Exercice 4627. $n$ désigne un entier naturel non nul.\\
  1. Décomposer en éléments simples dans $\mathbb{C}(X)$ : \[ F_1=\dfrac1{X^n-1}. \]
  2. Décomposer en éléments simples dans $\mathbb{R}(X)$ : \[ F_2=\dfrac1{X^{2n}-1}. \]
  3. Décomposer en éléments simples dans $\mathbb{R}(X)$ : \[ F_3=\dfrac1{X(X+1)(X+2)\cdots(X+n)}. \]
Exercice 4628. Soit $P$ un polynôme de $\mathbb{R}_n[X]$ admettant $n$ racines complexes distinctes et non nulles que l’on note $a_1,\ldots,a_n$.\\
  1. Déterminer la décomposition en éléments simples de la fraction rationnelle $\dfrac1{XP(X)}$.\\
  2. En déduire la formule \[ \Sum_{k=1}^{n}\dfrac1{a_kP'(a_k)}=-\dfrac1{P(0)}. \]
Exercice 4629. Soit $n \in \mathbb{N}$.\\ Exprimer la dérivée d’ordre $n$ de \[ \dfrac1{X(X^2+1)}. \]
Exercice 4630. On cherche à réduire au même dénominateur la fraction rationnelle \[ F=\Sum_{\omega \in U_n}\dfrac{\omega^2}{X-\omega}. \]
  1. Montrer que $F$ se met sous la forme \[ F=\dfrac{A}{X^n-1} \] avec $\deg(A) \leqslant n-1$.\\
  2. Calculer les valeurs de $A$ en tout $\omega \in U_n$ et en déduire le polynôme $A$.
Exercice 4631. Soit $P$ un polynôme de $\mathbb{R}_n[X]$ admettant $n$ racines complexes distinctes et non nulles que l’on note $a_1,\ldots,a_n$.\\
  1. Déterminer la décomposition en éléments simples de la fraction rationnelle $\dfrac1{XP(X)}$.\\
  2. En déduire la formule \[ \Sum_{k=1}^{n}\dfrac1{a_kP'(a_k)} = -\dfrac1{P(0)}. \]
Exercice 4632. Soit $P \in \mathbb{C}[X]$ un polynôme scindé à racines simples $x_1,\ldots,x_n$.\\
  1. Former la décomposition en éléments simples de $\dfrac{P''}{P}$.\\
  2. En déduire que \[ \Sum_{k=1}^{n}\dfrac{P''(x_k)}{P'(x_k)}=0. \]
Exercice 4633.
  1. Soit $n \in \mathbb{N}^\ast\setminus\{1\}$. Décomposer \[ F_n=\dfrac{n!}{X(X-1)(X-2)\cdots(X-n)} \] en éléments simples sur $\mathbb{C}$.\\
  2. En déduire la valeur de \[ \Sum_{k=0}^{n}\dfrac{(-1)^k\binom{n}{k}}{k+1}. \]
  3. Redémontrer le résultat précédent en utilisant le fait que \[ \dfrac1{k+1}=\integrale{0}{1}{x^k}{x}. \]
Exercice 4634.
  1. Donner la décomposition en éléments simples de \[ F=\dfrac1{(X-1)^3(X+1)^3}. \]
  2. En déduire un couple $(U,V) \in \mathbb{R}[X]^2$ tel que \[ (X+1)^3U+(X-1)^3V=1. \]
Exercice 4635. Soit $n \geqslant 2$ et, pour tout $k \in \llbracket 0,n-1 \rrbracket$, \[ \omega_k=e^{\frac{2ik\pi}{n}}. \]
  1. Factoriser $X^n-1$ dans $\mathbb{C}[X]$.\\
  2. Décomposer en éléments simples la fraction \[ \dfrac{X^p}{X^n-1}. \]
Exercice 4636. Soit $P \in \R[X]$ un polynôme scindé à racines simples de degré $n \geqslant 2$, que l'on note \[ P=\Prod_{k=1}^n (X-x_k). \]
  1. Si $0$ n'est pas racine de $P$, calculer $\Sum_{k=1}^n \frac{1}{x_kP'(x_k)}$. \\
  2. Calculer $\Sum_{k=1}^n \frac{1}{P'(x_k)}$.
Exercice 4637. Soit $F(X)$ une fraction rationnelle non constante dans $\mathbb{C}(X)$.\\
  1. Montrer que l'ensemble image de la fonction rationnelle $z\mapsto F(z)$ est soit $\mathbb{C}$ tout entier, soit $\mathbb{C}$ privé d'un point.\\
  2. On suppose que $F(X)$ n'est pas un polynôme. Soit $G(X)\in\mathbb{C}(X)\setminus\mathbb{C}$ tel que $F\circ G(X)$ soit, après simplifications, un polynôme. Montrer que $F(X)$ n'admet qu'un seul pôle $z_0$ et que $G(\mathbb{C})=\mathbb{C}\setminus\{z_0\}$.
Exercice 4638. Soit $F\in\mathbb{C}(X)$ telle que, pour tout $n\in\mathbb{N}$ non pôle de $F$, on ait $F(n)\in\mathbb{Q}$.\\ Montrer que $F\in\mathbb{Q}(X)$.
Exercice 4639. Soit \[ P(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\dots+a_nx^n \] un polynôme réel dont toutes les racines sont réelles.\\
  1. Montrer \[ \forall x\in\mathbb{R},\quad (P'^2-PP'')(x)\geqslant 0. \]
  2. En déduire \[ \forall k\in\llbracket 1,n-1\rrbracket,\quad a_{k-1}a_{k+1}\leqslant a_k^2. \]
Exercice 4640. Soit $P$ un polynôme de degré $n$ vérifiant \[ \integrale{0}{1}{x^kP(x)}{x}=0 \] pour tout $k\in\llbracket 1,n\rrbracket$.\\ Montrer \[ \integrale{0}{1}{(P(x))^2}{x} = (n+1)^2\left(\integrale{0}{1}{P(x)}{x}\right)^2. \]
Exercice 4641. Soient $a_1,\dots,a_n\in\mathbb{C}$ deux à deux distincts, et $\alpha_1,\dots,\alpha_n\in\mathbb{C}$ deux à deux distincts, tels que \[ \forall i,j\in\llbracket 1,n\rrbracket,\quad a_i+\alpha_j\neq 0. \] Résoudre le système \[ \left\{ \begin{array}{c} \Frac{x_1}{a_1+\alpha_1}+\Frac{x_2}{a_2+\alpha_1}+\dots+\Frac{x_n}{a_n+\alpha_1}=1\\ \Frac{x_1}{a_1+\alpha_2}+\Frac{x_2}{a_2+\alpha_2}+\dots+\Frac{x_n}{a_n+\alpha_2}=1\\ \vdots\\ \Frac{x_1}{a_1+\alpha_n}+\Frac{x_2}{a_2+\alpha_n}+\dots+\Frac{x_n}{a_n+\alpha_n}=1 \end{array} \right. \]
Exercice 4642. Soit $n\in\mathbb{N}$.\\
  1. Montrer qu'il existe un unique polynôme $P_n(X)\in\mathbb{R}[X]$ tel que $\forall x\in\mathbb{R}^*,\;P_n\parenthese{x+\Frac{1}{x}}=x^n+\Frac{1}{x^n}$.\\
  2. Effectuer la décomposition en éléments simples de $\Frac{X^n}{1+X^{2n}}$ dans $\mathbb{C}(X)$.\\
  3. En déduire la décomposition en éléments simples de $\Frac{X^n}{1+X^{2n}}$ dans $\mathbb{R}(X)$.\\
  4. En déduire la formule de la D.E.S. dans $\mathbb{R}(X)$ : $\dfrac{1}{P_n(X)}=\dfrac{1}{n}\Sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{(-1)^k\sin\parenthese{\dfrac{(2k+1)\pi}{2n}}}{X-2\cos\parenthese{\dfrac{(2k+1)\pi}{2n}}}$.
Exercice 4643. Montrer qu'il n'existe pas de $F\in\mathbb{C}(X)$ telle que \[ F'=\Frac{1}{X}. \]
Exercice 4644. Soit $n\in\mathbb{N}^*$ et $\omega=e^{2i\pi/n}$.\\
  1. Soit $P(X)\in\mathbb{C}[X]$ tel que $P(\omega X)=P(X)$. Montrer qu'il existe $Q(X)\in\mathbb{C}[X]$ tel que $P(X)=Q(X^n)$.\\
  2. Soit $F(X)\in\mathbb{C}(X)$ tel que $F(\omega X)=F(X)$. Existe-t-il une fraction rationnelle $G(X)\in\mathbb{C}(X)$ telle que $F(X)=G(X^n)$ ?\\
  3. Mettre la fraction $H(X)=\Sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{X+\omega^k}{X-\omega^k}$ sous forme de fraction irréductible.
Exercice 4645. Soit $n \in \N^*$. On note $V_n$ l'ensemble des racines $n$-ièmes de $-1$ dans $\C$.\\
  1. Décomposer en éléments simples sur $\C$ la fraction $F(X)=\Frac{1}{X^n+1}$.\\
  2. Calculer \[ \Sum_{z \in V_n}\Frac{z}{1-z}. \]
  3. Montrer : \[ \forall P \in \C_n[X],\; XP'(X)=\Frac{n}{2}P(X)+\Frac{2}{n}\Sum_{z \in V_n}\Frac{zP(z)X}{(z-1)^2}. \]
Exercice 4646. Soit $n \geqslant 2$.\\ Calculer la décomposition en éléments simples de \[ \dfrac1{(X-1)(X^n-1)}. \] On ne calculera pas le premier coefficient, sauf en défi.
Exercice 4647. Calculer les primitives des fonctions suivantes en précisant le domaine de validité.\\
  1. $f_1(x)=\dfrac1{1+x^4+x^8}$.\\
  2. $f_3(x)=\dfrac1{x^2(x-1)^2(x^2-x+1)}$.\\
  3. $f_2(x)=\dfrac{x^5+1}{(x^2+1)^2(x^2+x+1)}$.
Exercice 4648. Soient $a_1,\ldots,a_n \in \mathbb{C}$ distincts et $\alpha_1,\ldots,\alpha_n \in \mathbb{C}$ deux à deux distincts, tels que \[ \forall i,j \in \llbracket 1,n \rrbracket,\quad a_i+\alpha_j \neq 0. \] Résoudre le système \[ \left\{ \begin{array}{ccccccccc} \dfrac{x_1}{a_1+\alpha_1}&+&\dfrac{x_2}{a_2+\alpha_1}&+&\cdots&+&\dfrac{x_n}{a_n+\alpha_1}&=&1\\ \dfrac{x_1}{a_1+\alpha_2}&+&\dfrac{x_2}{a_2+\alpha_2}&+&\cdots&+&\dfrac{x_n}{a_n+\alpha_2}&=&1\\ &&&&\vdots&&&&\vdots\\ \dfrac{x_1}{a_1+\alpha_n}&+&\dfrac{x_2}{a_2+\alpha_n}&+&\cdots&+&\dfrac{x_n}{a_n+\alpha_n}&=&1 \end{array} \right. \] à l’aide des fractions rationnelles.
Exercice 4649. Soit $P(X)\in\mathbb{C}[X]$ admettant au moins deux racines réelles et tel que $P''(X)$ divise $P(X)$. Montrer que le polynôme $P(X)$ est scindé à racines simples dans $\mathbb{R}$.
Exercice 4650. Définition : Soit $A$ un sous-ensemble de $\mathbb{R}$. On appelle enveloppe convexe de $A$ l’ensemble \[ \left\{\Sum_{i=1}^{p}\lambda_i a_i \quad tq \quad p \in \mathbb{N}^\ast,\quad \forall i \in \llbracket 1,p \rrbracket,\quad a_i \in A,\quad \lambda_i \in [0,1],\quad \Sum_{i=1}^{p}\lambda_i=1\right\}. \] On la note $C(A)$.\\ Soit $n \in \mathbb{N}^\ast$ et $P$ un polynôme complexe unitaire scindé de degré $n$.\\ On note $(z_k)_{k \in \llbracket 1,p \rrbracket}$ ses racines distinctes et $\alpha_k$ la multiplicité de $z_k$.\\
  1. Donner la décomposition en éléments simples de $\dfrac{P'}{P}$.\\
  2. Soit $z$ une racine de $P'$ qui n’est pas racine de $P$. Montrer que \[ \Sum_{j=1}^{p}\dfrac{\alpha_j(z-z_j)}{|z-z_j|^2}=0. \]
  3. Dans la suite, pour tout polynôme $Q$, on note $Z(Q)$ l’ensemble des racines de $Q$. En déduire que \[ Z(P')\subset C(Z(P)). \] Théorème de Gauss-Lucas.\\
  4. Montrer en particulier que si $D$ est un disque fermé contenant les racines de $P$, alors il contient les racines de $P'$.
Exercice 4651. Pour tout $F \in \mathbb{C}(X)$ et $a \in \mathbb{C}$, on appelle résidu de $F$ en $a$, noté $\mathrm{Res}(F,a)$, le coefficient de $\dfrac1{X-a}$ dans la décomposition en éléments simples de $F$ dans $\mathbb{C}(X)$.\\ Soit $r > 0$ fixé.\\ Montrer que, si $F$ n’a aucun pôle sur le cercle de centre $0$ et de rayon $r$, alors \[ \integrale{0}{2\pi}{F(re^{it})re^{it}}{t} = 2\pi\Sum_{\substack{a\;\mathrm{pôle\;de\;}F\\ |a| < r}}\mathrm{Res}(F,a). \]