Exercices divers

Exercice 2632. Soit \[ f_n : x\in[0,n]\mapsto \Prod_{i=0}^n(x-i)\in\mathbb{R}. \] Trouver un équivalent simple de \[ \|f_n\|_\infty \] lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
Exercice 2633. Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ continue et croissante. On pose \[ F(x)=\integrale{0}{x}{f(t)}{t}. \]
  1. On suppose qu'il existe $\alpha > 0$ tel que $F(x)\sim \Frac{x^\alpha}{\alpha}$ en $+\infty$. Montrer que \[ f(x)\sim x^{\alpha-1}. \]
  2. On suppose, toujours en $+\infty$, que $F(x)=\Frac{x^2}{2}+o(x)$. Montrer que \[ f(x)=x+o(\sqrt{x}). \]
Exercice 2634.
  1. Calculer \[ \limn \left[\cos\left(\frac{n\pi}{3n+1}\right)+\sin\left(\frac{n\pi}{6n+1}\right)\right]^n. \]
  2. Calculer \[ \lim_{x\to +\infty}\left(\frac{a^{1/x}+b^{1/x}+c^{1/x}}{3}\right)^x. \]
  3. Calculer $f^{(n)}(0)$ dans les deux cas suivants :\\ \[ f(x)=\arctan x \qquad \text{et} \qquad f(x)=\frac{x^4}{1+x^6}. \]
Exercice 2635. Soient $f$ et $g$ deux fonctions impaires de classe $C^3$ au voisinage de $0$ avec $g^{(3)}(0)\neq 0$.\\ Calculer \[ \lim_{x\to 0}\Frac{f(x)-2f(2x)+f(3x)}{g(x)-2g(2x)+g(3x)}. \]
Exercice 2636. Prouver la liberté de la famille de fonctions \[ \parenthese{x\mapsto 1,\;x\mapsto \exp(x)\th(x),\;x\mapsto \exp(x)\th^2(x),\dots,\;x\mapsto \exp(x)\th^n(x)}. \]
Exercice 2637. Soit $n\in\N^*$.\\ Déterminer tous les polynômes $P(X)$ tels que $X^n$ divise \[ 1+X-P^2(X). \]
Exercice 2638. Soit $P(X)\in \R[X]$.\\ On suppose qu'une fonction $f$ dérivable sur $\R$ vérifie \[ f'(x)=P(f(x)). \]
  1. Montrer que $f$ est $C^{\infty}$.
  2. On suppose $f(0)=0$. Calculer le $DL_3(0)$ de $f$.
Exercice 2639. On considère la suite de polynômes $(P_n)_{n\geqslant 2}$ définie par \[ \forall n \geqslant 2,\; P_n=X^n-nX+1. \]
  1. Montrer que $\forall n \geqslant 2$, $\exists !x_n\in [0;1]$ tel que $x_n$ est racine de $P_n$.\\
  2. Donner un équivalent de $x_n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$ puis un développement asymptotique à deux termes.
Exercice 2640.
  1. Simplifier au maximum les expressions suivantes en restant le plus précis possible. Les $O$ et $o$ sont en $x \to +\infty$.\\
    1. $o(x+1)$\\
    2. $o(5x^2)-o(2x^3)$\\
    3. $O(x)-O(x^2)$\\
    4. $\ln(x)(o(x)+o(x^2))$\\
    5. $O(2+x-3x^4)$\\
    6. $o\parenthese{\dfrac{1}{x}}+o(1)$\\
    7. $o\parenthese{x^2-2-\dfrac{1}{x^3}}$\\
    8. $o\parenthese{\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x^3}}$\\
    9. $1+2x-x^2+o(x)$\\
    10. $5x^5-3x^2+o(x^3)$\\
    11. $-2+x^2-x^3+o(x+1)$\\
    12. $1+\dfrac{1}{x}-x^2+o(x-x^2)$
  2. Reprendre le même travail avec cette fois-ci les $o$ et $O$ en $x \to 0$.
Exercice 2641. Déterminer un équivalent simple lorsque $x \to +\infty$ puis lorsque $x \to 0$ de :\\
  1. $2+3x$\\
  2. $2x^2-5x+7$\\
  3. $x^4-2+\dfrac{4}{x}$\\
  4. $\dfrac{2}{x}-\dfrac{3}{x^2}$\\
  5. $5\ln(x)+2$\\
  6. $5\ln(x)+2x$\\
  7. $5\ln(x)+\dfrac{2}{x}$\\
  8. $\dfrac{1}{2x+3}$\\
  9. $3e^x+x-1$\\
  10. $\dfrac{x-3x^3}{2x^2+x^4}$\\
  11. $\dfrac{3x^2}{x^2+x^3}$\\
  12. $\dfrac{2e^x+x^2+3}{e^{2x}+x^3}$\\
  13. $\dfrac{1}{3x-2}$
Déterminer un équivalent simple lorsque $x \to 0$ de $\sin(x)$, $\cos(x)$, $e^x$ et $e^x-1$.
Exercice 2642. Donner un équivalent simple quand $n \to +\infty$ de \[ \integrale{0}{1}{t^n\dfrac{\sqrt{1+t}}{e^t}}{t}. \]
Exercice 2643.
  1. Montrer que la fonction \[ f:x \mapsto x+\ln(x) \] est une bijection de $\R_+^*$ vers $\R$.\\
  2. Déterminer \[ \lim_{y \to +\infty}f^{-1}(y). \]
  3. En déduire que \[ f^{-1}(y)\sim y \quad \mathrm{quand } y \to +\infty. \]
  4. Montrer que \[ f^{-1}(y)-y\sim -\ln(y). \]
Exercice 2644. On définit, pour tout $x\in\R$, \[ f(x)=e^{-x^2}\integrale{0}{x}{e^{t^2}}{t}. \] Soit $n\in\N$.\\
  1. Justifier proprement que $f$ est $C^{\infty}(\R)$.\\
  2. Justifier que $f'$ admet un développement limité en $0$ à l’ordre $2n$. On notera alors \[ f'(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_{2n}x^{2n}+o(x^{2n}). \]
  3. Donner alors le $DL_{2n+1}(0)$ de $f(x)$ en fonction des $a_k$.\\
  4. Montrer que $f$ est l’unique solution au problème de Cauchy \[ \left\{ \begin{array}{l} y'=-2xy+1\\ y(0)=0 \end{array} \right. \]
  5. En déduire une relation de récurrence sur les coefficients $a_k$.\\
  6. En déduire l’expression des coefficients $a_k$.\\
  7. Donner alors le $DL_{2n+1}(0)$ de $f(x)$.
Exercice 2645. On pose \[ f(x)=\Frac{\sh(x)-x\ch(x)}{\ln(\cos(x))}. \]
  1. Écrire proprement avec une union l’ensemble de définition de $f$.\\
  2. Montrer proprement que \[ f(x)=\Frac{2}{3}x-\Frac{2}{45}x^3+o(x^3). \]
    1. Montrer que $f$ admet un prolongement par continuité en $0$ que l’on notera encore $f$.\\
    2. Préciser l’équation de la tangente en $0$, puis la position courbe-tangente au voisinage de $0$.
  4. On pose maintenant \[ g(x)=(x-1)^2\arctan\parenthese{\Frac{1}{x}} \] pour tout $x\in\R$.\\
    1. Donner un développement asymptotique en $+\infty$ de $g$ sous la forme \[ g(x)=ax+b+\Frac{c}{x}+o\parenthese{\Frac{1}{x}}. \]
    2. En déduire une asymptote oblique en $+\infty$ à la courbe de $g$.
Exercice 2646. Les questions suivantes sont indépendantes.\\
  1. Soit $n\geqslant 2$. On considère le polynôme \[ P_n=X^n-nX+1. \]
    1. Montrer que $P_n$ admet exactement une racine réelle entre $0$ et $1$ notée $x_n$.\\
    2. Justifier que $(x_n)$ est décroissante, puis qu’elle converge.\\
    3. Déterminer la limite de $x_n$ lorsque $n\to +\infty$.\\
    4. Justifier que $x_n^n=o(nx_n)$.\\
    5. Donner un équivalent de $(x_n)$.
  2. Soit $n\in\N^*$, on pose \[ u_n=\sum_{k=1}^{n}\Frac{1}{\sqrt{k}}. \] Donner un équivalent de $u_n$ par comparaison série-intégrale.