Sommes de Riemann
Exercice
1848. Calculer les limites lorsque $n$ tend vers $+\infty$ pour : \\
- $u_n=\Sum_{k=1}^{3n}\Frac{n}{n^2+k^2}$. \\
- $u_n=\Sum_{k=1}^{4n}\Frac{1}{\sqrt{n^2+k^2}}$. \\
- $u_n=\Frac{1}{n}\Sum_{k=1}^{2n}\Frac{2k}{n}\,e^{1+3k/n}$. \\
- $u_n=\left(\Frac{n!}{n^n}\right)^{1/n}$.
Exercice
1849. Calculer :
\[
\limn \Frac{1}{n}\sqrt[n]{\Prod_{k=n+1}^{2n}k}.
\]
Exercice
1850. Soit $f:[0,1]\to\R$ une fonction de classe $C^2$. \\
On pose $I=\integrale{0}{1}{f(t)}{t}$. \\
Calculer $\limn \left(nI-\Sum_{k=0}^{n-1}f\!\left(\Frac{k}{n}\right)\right)$.
Exercice
1851. Soit $f:[0,\pi]\to\R$ une fonction continue telle que :
\[
\integrale{0}{\pi}{f(t)\sin t}{t}=\integrale{0}{\pi}{f(t)\cos t}{t}=0.
\]
- Montrer que la fonction $f$ s'annule au moins deux fois sur l'intervalle $]0,\pi[$. \\
- Donner un exemple de fonction $f$ non nulle et vérifiant les hypothèses.
Exercice
1852. Soit $f:[0,1]\to]0,+\infty[$ une fonction continue. \\
On pose
\[
I=\integrale{0}{1}{f(t)}{t}.
\]
- Montrer que $I>0$. \\
- Soit $n\in\N^*$. Montrer qu'il existe une unique subdivision
\[
\sigma_n=\big(a_{n,0}=0