Convexité

Exercice 1713. Soit $I$ un intervalle de $\R$ et $f : I \to \R$ une application convexe.\\ Soit $a \in I$.\\ Montrer qu'il existe $m \in \R$ tel que, pour tout $x \in I$,\\ \[ f(x) \geqslant m(x-a)+f(a). \]
Exercice 1714. Soit $f : [0,+\infty[ \to \R$ convexe.\\ Montrer que, s'il existe $(a,b) \in ]0,+\infty[^2$ tel que $a < b$ et $f(a) < f(b)$, alors : $f(x) \xrightarrow[x\to +\infty]{} +\infty$.
Exercice 1715. Montrer que pour tout $n \in \N$, $n! \leqslant \parenthese{\Frac{n+1}{2}}^{n}$.

Exercice 1716. Moyenne arithmétique et géométrique

\\
  1. Vérifier que l'application $f : ]0,+\infty[ \to \R$, $x \mapsto f(x)=-\ln(x)$ est convexe.\\
  2. En déduire, pour tout $n \in \N^*$ et tout $(x_1,\ldots,x_n) \in (\R_+^*)^n$ :\\ \[ \sqrt[n]{x_1\cdots x_n} \leqslant \Frac{x_1+\cdots+x_n}{n}. \]
Exercice 1717. Montrer que, pour tout $x_1,\ldots,x_n > 0$,\\ \[ \Frac{n}{\frac{1}{x_1}+\cdots+\frac{1}{x_n}} \leqslant \Frac{x_1+\cdots+x_n}{n}. \]
Exercice 1718. Montrer que pour tout $n \in \N^*$ et $x,y>0$, $\parenthese{x+y}^n \leqslant 2^{n-1}\parenthese{x^n+y^n}$.
Exercice 1719. Soient $n \in \N^*$, $a_1,\ldots,a_n \in ]0,+\infty[$ tels que $\Sum_{i=1}^{n} a_i = 1$.\\ Montrer :\\ \[ \Sum_{i=1}^{n}\parenthese{a_i+\Frac{1}{a_i}}^2 \geqslant \Frac{(n^2+1)^2}{n}. \]
Exercice 1720. Soit $f : I \to \R$ une application continue strictement décroissante et convexe.\\ Etudier la convexité de la fonction $f^{-1} : f(I) \to I$.
Exercice 1721. Soient $f$ et $g : \R \to \R$ deux applications telles que $f$ soit convexe et $g$ soit à la fois convexe et croissante.\\ Montrer que $g \circ f$ est convexe.
Exercice 1722. Soit $f : \R \to \R$ une fonction convexe strictement croissante.\\ Montrer que $f$ tend vers $+\infty$ en $+\infty$.

Exercice 1723. Inégalité de Jensen

\\ Soit $f : I \to \R$ une fonction convexe, $a_1,a_2,\ldots,a_n \in I$, $p_1,p_2,\ldots,p_n \in \R^*$ où $n \geqslant 2$.\\ Montrer que\\ \[ f\parenthese{\Frac{\Sum_{i=1}^{n} p_i a_i}{\Sum_{i=1}^{n} p_i}} \leqslant \Frac{\Sum_{i=1}^{n} p_i f(a_i)}{\Sum_{i=1}^{n} p_i}. \] Si $f$ est strictement convexe, montrer que l'égalité a lieu si et seulement si $a_1 = a_2 = \cdots = a_n$.
Exercice 1724. Montrer : $\forall x \in ]0,+\infty[$, $2^x + 2^{x^3} \geqslant 2^{x^2+1}$.
Exercice 1725. Soit $f : [0,+\infty[ \to \R$ dérivable et convexe.\\ Montrer que l'application $g : [0,+\infty[ \to \R$, $x \mapsto g(x)=f(x)-xf'(x)$ est décroissante.
Exercice 1726. Soit $f : \R \to \R_+^*$.\\ Montrer que si $\ln\circ f$ est convexe, alors pour tout $\alpha > 0$, $f^\alpha$ est convexe.
Exercice 1727. Soit $f \in \mathcal{C}(\R,\R)$ que l'on suppose convexe.\\ Montrer que la fonction $g$ définie sur $\R$ par\\ \[ \forall x \in \R,\qquad g(x)=\integrale{x-1}{x+1}{f(t)}{t} \] est elle aussi convexe.
Exercice 1728. Soit $f : \R \to \R$ continue, convexe et bijective.\\ Que dire de la convexité de $f^{-1}$ ?
Exercice 1729. Soit $f : I \to \R$ convexe.\\ Montrer que si $a \in I$ est un minimum local de $f$ alors $a$ est un minimum global.
Exercice 1730. Soit $f : \R \to \R$ une application convexe et majorée.\\ Montrer que $f$ est constante.\\ La conclusion subsiste-t-elle pour $f : [0,+\infty[ \to \R$ ?
Exercice 1731. Soit $f : \R \to \R$ une fonction convexe et bornée.\\ Montrer que $f$ est constante.
Exercice 1732. Soit $f : \R \to \R$ une fonction convexe.\\ Montrer que $f$ est continue.
Exercice 1733. Soit $f : \R \to \R$ une fonction convexe.\\
  1. On suppose $f\xrightarrow[x\to +\infty]{}0$.\\ Montrer que $f$ est positive.\\
  2. On suppose que $f$ présente une asymptote en $+\infty$.\\ Etudier la position de la courbe par rapport à cette asymptote.
Exercice 1734. Soit $f : \R^+ \to \R$ dérivable, concave et vérifiant $f(0)\geqslant 0$.\\ Montrer que $f$ est sous-additive, c'est-à-dire\\ \[ \forall x,y\in\R^+,\qquad f(x+y)\leqslant f(x)+f(y). \]
Exercice 1735. Déterminer les fonctions $f : \R \to \R$ convexes et impaires.
Exercice 1736. Soit $f \in \mathcal{C}^1([a,b],\R)$ supposée convexe.\\ Montrer que\\ \[ f\parenthese{\Frac{a+b}{2}} \leqslant \Frac{1}{b-a}\integrale{a}{b}{f(x)}{x} \leqslant \Frac{f(a)+f(b)}{2}. \]
Exercice 1737. Soient $p,q \geqslant 1$ tels que $\Frac{1}{p}+\Frac{1}{q}=1$.\\
  1. Soient $x,y>0$.\\ Montrer que $xy \leqslant \Frac{x^p}{p}+\Frac{y^q}{q}$.\\
  2. Soient $a_1,\ldots,a_n>0$ et $b_1,\ldots,b_n>0$.\\ Montrer : $\Sum_{k=1}^{n} a_k b_k \leqslant \parenthese{\Sum_{k=1}^{n} a_k^p}^{\Frac{1}{p}}\parenthese{\Sum_{k=1}^{n} b_k^q}^{\Frac{1}{q}}$.\\
  3. On suppose que $p>1$.\\ Montrer : $\parenthese{\Sum_{k=1}^{n}(a_k+b_k)^p}^{\Frac{1}{p}}\leqslant \parenthese{\Sum_{k=1}^{n} a_k^p}^{\Frac{1}{p}}+\parenthese{\Sum_{k=1}^{n} b_k^p}^{\Frac{1}{p}}$.

Exercice 1738. X MP

\\ Soient $I$ un intervalle ouvert de $\R$ et $f \in \mathcal{C}^0(I,\R)$.\\
  1. On suppose que, pour tout $(x,y)\in I^2$,\\ \[ f\parenthese{\Frac{x+y}{2}}\leqslant \Frac{f(x)+f(y)}{2}. \] Montrer que $f$ est convexe.\\
  2. On suppose qu'il existe un réel $M$ tel que\\ \[ \forall (x,y)\in \R^2,\qquad \abs{f(x+y)+f(x-y)-2f(x)}\leqslant My^2. \] Montrer que $f$ est dérivable.\\ On pourra considérer $x\mapsto f(x)\pm \Frac{M}{2}x^2$.

Exercice 1739. X MP

\\ Soient $x_1,\ldots,x_n,y_1,\ldots,y_n$ des réels positifs.\\ Montrer\\ \[ (x_1\cdots x_n)^{1/n}+(y_1\cdots y_n)^{1/n} \leqslant \Big((x_1+y_1)\cdots(x_n+y_n)\Big)^{1/n}. \]
Exercice 1740. Soit $f:[a,b]\to\R$ une fonction de classe $\mathcal{C}^2$ telle que $f(a)=f(b)=0$.\\ On note $M=\sup_{[a,b]}\abs{f''}$ et $c(x)=\Frac{(x-a)(b-x)}{2}$.\\ On pose, pour tout $x\in[a,b]$, $g(x)=f(x)-Mc(x)$ et $h(x)=f(x)+Mc(x)$.\\
  1. Justifier l'existence de $M$.\\
  2. Montrer que $g$ est convexe et que $h$ est concave.\\
  3. En déduire : $\forall x \in [a,b],\;\; \abs{f(x)}\leqslant Mc(x)$.
Exercice 1741. Soient $n \in \N^*$ et $x_1,\ldots,x_n \in \R^{+*}$.\\ Montrer :\\ \[ \Frac{x_1}{x_2}+\Frac{x_2}{x_3}+\cdots+\Frac{x_{n-1}}{x_n}+\Frac{x_n}{x_1}\geqslant n. \]