Exercices divers

Exercice 2000. ENS Cachan MP

\\ Soit $(a_n)_{n \geqslant 0}$ dans $\mathbb{R}^n$ telle que, pour toute suite $(b_n)_{n \geqslant 0} \in \mathbb{R}^n$ de limite nulle, la série de terme général $a_n b_n$ est convergente. \\ Montrer que la série de terme général $a_n$ est absolument convergente.
Exercice 2001. Soit $\varphi : \mathbb{N}^* \to \mathbb{N}^*$ une application injective.\\ Montrer que la série $\Sum_{n\geqslant 1}\Frac{\varphi(n)}{n^2}$ diverge.
Exercice 2002. \\
  1. Soit $n\in\N$. Montrer que l’équation $\ln(x)=\arctan(x)+n\pi$ admet une unique solution dans $]0,+\infty[$, notée $x_n$. Quelle est la limite de $(x_n)$ ?\\
  2. Montrer que la série de terme général $\Frac{1}{x_n}$ est convergente.
Exercice 2003. Soit $(a_n)_{n \geqslant 1}$ une suite de nombres complexes telle que la série $\Sum_{n \geqslant 1} \Frac{a_n}{n}$ converge absolument. On suppose que \\ \[ \forall k \in \mathbb{N}^\ast,\quad \Sum_{n=1}^{+\infty} \Frac{a_n}{n^k} = 0. \] Que peut-on dire de la suite $(a_n)_{n \geqslant 1}$ ?
Exercice 2004. Soit $\Sum u_n$ une série semi-convergente.\\
  1. Montrer que pour tout $x\in\R$, il existe une bijection $\sigma:\N\to\N$ telle que $$ x=\Sum_{n=0}^{+\infty} u_{\sigma(n)}. $$
  2. Montrer qu'il existe une bijection $\sigma:\N\to\N$ telle que la série de terme général $u_{\sigma(n)}$ diverge.
Exercice 2005. Déterminer un équivalent du reste de la série harmonique alternée $\Sum \Frac{(-1)^n}{n}$.
Exercice 2006. Soient $\Sum x_n\in S(\mathbb{C})$ et $\varphi:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ une application strictement croissante.\\ On pose $y_0=\Sum_{k=0}^{\varphi(0)}x_k$, et pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, $y_n=\Sum_{k=\varphi(n-1)+1}^{\varphi(n)}x_k$.\\ Ainsi, $y_n$ constitue un "paquet" de $\varphi(n)-\varphi(n-1)$ termes consécutifs de $\Sum x_k$, en convenant que $\varphi(-1)=-1$.\\
  1. Montrer que si $\Sum x_n$ converge, alors $\Sum y_n$ converge également. Montrer que la réciproque est fausse.\\
  2. Montrer que la réciproque est vraie lorsque $\Sum x_k$ est à termes positifs.\\
  3. Montrer que la réciproque est vraie lorsque $(x_n)$ tend vers $0$ et que la suite $(\varphi(n)-\varphi(n-1))$ est majorée.\\
  4. Montrer que la réciproque est vraie lorsqu'à l'intérieur de chaque paquet (pour $k\in[\varphi(n-1)+1,\varphi(n)]$), tous les $x_k$ sont réels et de même signe.\\

Exercice 2007. ENS Ulm

\\ Soit $f \in \mathcal{C}^1(\R^+,\R)$ telle que $f$ est décroissante et $\limplus f(x) = 0$. \\ Déterminer $\limzp \Sum_{n \geqslant 0} (-1)^n f(nx)$.
Exercice 2008. On pose $\forall n \in \N^*$, $u_n=\Sum_{k=1}^{n}\Frac{k}{k^2+1}-\ln n$.\\
  1. Montrer que la suite $(u_n)_{n \geqslant 1}$ converge. On note $\ell$ la limite.\\
  2. Donner la nature de la série $\Sum_{n \geqslant 1}(u_n-\ell)$.\\
  3. Étudier la nature de la série $\Sum_{n \geqslant 1}(-1)^n\abs{u_n-\ell}$
Exercice 2009. Soit $\alpha > 0$. On définit la suite $u \in \R^\N$ par :\\ $u_0=1$ et $\forall n \in \N^*,\; u_{n+1}=\Frac{\cos u_n}{n^\alpha}$.\\
  1. Déterminer en fonction de $\alpha$ la nature de la série $\Sum u_n$.\\
  2. Déterminer en fonction de $\alpha$ la nature de la série $\Sum (-1)^n u_n$
Exercice 2010. On pose :\\ $\forall n \in \N^*,\; z_n=\Prod_{k=1}^{n}\parenthese{1+\Frac{i}{k}}$.\\
  1. Montrer que la suite $(\abs{z_n})$ est convergente.\\
  2. Montrer que la suite $z$ diverge.
Exercice 2011. Soit $\alpha > 0$.\\ Le but de cet exercice est de déterminer la nature de la série $\Sum_{n=1}^{+\infty}\Frac{\cos n}{n^\alpha}$.\\
  1. Soient $(x_0,\dots,x_n)$ et $(y_0,\dots,y_n)$ dans $\C^{n+1}$.\\ Simplifier l’expression $\Sum_{k=1}^{n}x_k(y_k-y_{k-1})-\Sum_{k=0}^{n-1}(x_k-x_{k+1})y_k$.\\
  2. On pose $S_0=0$, puis $S_n=\Sum_{k=1}^{n}\cos k$.\\ Montrer que la suite $(S_n)_{n\in\N}$ est bornée.\\
  3. En déduire la nature de la série $\Sum_{n=1}^{+\infty}\Frac{\cos n}{n^\alpha}$
Exercice 2012. Pour toute suite réelle $u$, on note $E(u)$ l'ensemble des entiers $p \geqslant 1$ tels que la série $\Sum u_n^p$ est convergente.\\
  1. On suppose $u$ à termes positifs. Montrer que $E(u)$ est soit vide, soit de la forme $[p_0,+\infty[ \cap \N$.\\
  2. Donner un exemple de suite $u$ telle que $E(u)$ soit vide et, pour tout entier $p_0 \geqslant 1$, donner un exemple de suite $u$ telle que $E(u)= [p_0,+\infty[ \cap \N$.\\
  3. Déterminer $E(u)$ dans les cas suivants :\\
    1. $\forall n \in \N^*,\;\; u_n=\Frac{(-1)^n}{\ln(n+1)}$.\\
    2. $\forall n \in \N^*,\;\; u_n=\ln\left(1+\Frac{(-1)^{n+1}}{n^{1/3}}\right)$.\\
Exercice 2013. Soit $u$ une suite récurrente d’itératrice $f$ de classe $C^2$ telle que la suite $u$ converge vers $\ell$ et que pour tout $n \in \N$, $u_n \neq \ell$.\\ Dans toute la suite, on pose $\theta_n=u_n-\ell$.\\
  1. On suppose que $m=f'(\ell)$ vaut $1$ et $f''(\ell)\neq 0$.\\
    1. Calculer $\limn\Big(\Frac{1}{\theta_{n+1}}-\Frac{1}{\theta_n}\Big)$.\\
    2. Déterminer un équivalent de $\theta_n$.\\
  2. On suppose que $0 < m=f'(\ell) < 1$.\\
    1. Montrer que la série $\Sum_{n \geqslant 0}\theta_n$ est convergente.\\
    2. Montrer que la série $\Sum_{n \geqslant 0}\ln\!\Big(\Frac{1}{m}\,\Frac{\theta_{n+1}}{\theta_n}\Big)$ est convergente.\\
    3. En déduire qu’il existe $c \neq 0$ tel que $\theta_n \sim c\,m^n$.\\
Exercice 2014. \\
  1. Soit $u_0 \in [0,\pi]$, puis $u_{n+1}=1-\cos(u_n)$. Déterminer la nature de $\Sum_{n \geqslant 0}u_n$.\\
  2. Étudier la suite $v$, avec $v_0>0$ et $v_{n+1}=\sqrt{1+v_n}$.\\
  3. Montrer que la suite $v$ converge. On note $\ell$ la limite.\\
  4. Déterminer la nature de la série $\Sum_{n \geqslant 0}(v_n-\ell)$.\\
  5. On pose $w_0=\Frac{\pi}{2}$ et $w_{n+1}=\sin(w_n)$.\\
    1. Déterminer un équivalent de $w_n$.\\
    2. Déterminer la nature de $\Sum_{n \geqslant 0} w_n^{a}$, avec $a>0$.\\
  6. On prend $a_0>0$, puis $a_{n+1}=1-e^{-a_n}$.\\
    1. Étudier la suite $a$.\\
    2. Déterminer la nature de $\Sum_{n \geqslant 0} a_n^{\alpha}$, avec $\alpha>0$.
Exercice 2015. Soit $\mu:\N^*\to\Z$ la fonction de Möbius définie par $\mu(n)=(-1)^r$ si $n$ est un produit de $r$ nombres premiers distincts, et $\mu(n)=0$ sinon.\\
  1. Soit $n \in \N^*$.\\
    1. Calculer $s_n=\Sum_{\substack{d=1\\ d\mid n}}^{n}\mu(d)$.\\
    2. En déduire : $\Sum_{k=1}^{+\infty}\Frac{\mu(k)}{k^2}=\Frac{6}{\pi^2}$.\\
  2. Pour tout $n \in \N^*$, on pose\\ \[ q_n=\mathrm{Card}\Big\{(u,v)\in\{1,\ldots,n\}^2\mid u\wedge v=1\Big\}. \] Montrer la formule :\\ \[ q_n=\Sum_{k=1}^{+\infty}\mu(k)\left\lfloor\Frac{n}{k}\right\rfloor^{2}. \]
  3. En déduire que : $\limn \Frac{q_n}{n^2}=\Frac{6}{\pi^2}$.

Exercice 2016. X

\\ On considère une suite $(a_n)_{n \in \N}$ de nombres réels telle que \[ \limn a_n \Sum_{k=0}^{n} a_k^2 = 1. \] Déterminer un équivalent de $a_n$.
Exercice 2017. Soit $\Sum a_n$ une série réelle semi-convergente et $\alpha \in \R$.\\ Montrer qu’il existe une permutation $\sigma$ de $\N$ telle que la série $\Sum a_{\sigma(n)}$ converge et ait pour somme $\alpha$.
Exercice 2018. Soit $(a_n)$ une suite de nombres complexes.\\ Établir l’équivalence \[ \Sum |a_n| \;\mathrm{converge}\;\Longleftrightarrow\;\forall \sigma \in S(\N),\;\Sum a_{\sigma(n)} \;\mathrm{converge}. \] Soit $(c_n)$ une suite de nombres complexes non nuls.\\ Établir l’équivalence \[ \Sum |c_n-1| \;\mathrm{converge}\;\Longleftrightarrow\;\exists a \in \C^*,\;\forall \sigma \in S(\N),\;\limn \Prod_{k=0}^{n} c_{\sigma(k)}=a. \]
Exercice 2019. Établir l’existence d’une constante $K>0$ telle que, pour toute suite $(a_n)_{n\geqslant 1}$ de réels strictement positifs avec $\Sum \Frac{1}{a_n}$ convergente, on ait\\ \[ \Sum_{n=1}^{+\infty}\Frac{n}{a_1+\cdots+a_n}\leqslant K\Sum_{n=1}^{+\infty}\Frac{1}{a_n}. \] On pourra commencer par établir que, pour tout $n\geqslant 1$,\\ \[ \Frac{n}{a_1+\cdots+a_n}\leqslant \Frac{4}{n(n+1)^2}\Sum_{k=1}^{n}\Frac{k^2}{a_k}. \] Quelle est la meilleure constante $K$ possible ?
Exercice 2020. \\
  1. Montrer qu’il existe une constante universelle $C$ telle que, pour toute série convergente à termes positifs $\Sum a_n$, on ait\\ \[ \Sum_{n=1}^{+\infty}\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}\leqslant C\Sum_{n=1}^{+\infty}a_n. \]
  2. Quelle est la plus petite valeur possible de $C$ ?