Comparaisons de fonctions

Exercice 1683. Montrer que $f=O(g)$ n’implique pas $a^f \in O(a^g)$ et que $f=o(g)$ n’implique pas $a^f \in o(a^g)$.\\
Exercice 1684. Si $f=o(g)$ et $g \to +\infty$, montrer que $e^f=o(e^g)$.
Exercice 1685. Montrer que $f \sim g$ n’implique pas $a^f \sim a^g$.
Exercice 1686. Si $f$ et $g$ sont strictement positives et infiniment grandes, montrer que $f \in O(g) \Rightarrow \ln(f) \in O(\ln(g))$.
Exercice 1687. Montrer que $f \sim g$ n’implique pas $\ln(f) \sim \ln(g)$ en général.
Exercice 1688. \\
  1. Montrer que $e^x-e^{x^2}\sim x$ quand $x \to 0$.\\
  2. Montrer que $e^{x^2+x}-e^x\sim x^2$ quand $x \to 0$.\\
  3. Soit $f,g \in \mathcal{F}$ telles que $\lim_a f=\lim_a g=0$, montrer que $e^{f(x)}-e^{g(x)}\sim f(x)-g(x)$ quand $x \to a$.\\
  4. Déterminer un équivalent simple de $e^{\Frac{1}{x}}-e^{\Frac{1}{x+1}}$ quand $x \to +\infty$.
Exercice 1689. Déterminer un équivalent de $\arccos$ en $1^-$.
Exercice 1690. Déterminer un équivalent de $f(u)=\ln\parenthese{3-2\cos(u-1)}$ en $1$.
Exercice 1691. On pose $f(x)=\parenthese{2^x+3^x-12}^{\tan\parenthese{\frac{\pi x}{4}}}$.\\
  1. Montrer que $f$ est définie au voisinage de $2$.\\
  2. Déterminer l’éventuelle limite de $f$ en $2$.
Exercice 1692. Calculer $\lim_{x \to 0}(1-\cos x)\cotan x$.