Approfondissement / Vers la prépa

Exercice 525. Soit $p \in \N$ et $X$ une variable aléatoire répartie uniformément sur les nombres pairs de $0$ à $2p$. \\
  1. Combien y-a-t-il de nombre pairs entre $0$ et $2p$ ? \\
  2. En déduire la loi de $X$. \\ On donnera la valeur de $P(X=2i)$ pour tout $i \in \llbracket 0, p \rrbracket$. \\
  3. Calculer $\mathbb{E}[X]$. \\
  4. On admet que $\mathbb{E}[X^2] = \Sum_{i=0}^{p} (2i)^2 \times \Frac{1}{p+1}$. \\ Calculer $\mathbb{V}(X)$.