Approfondissement / Vers la prépa

Exercice 331. \\ Résoudre l'inéquation $\ln(\abs{x}) < 1$.
Exercice 332. \\ Soit $f$ définie par $f(x) = \ln(x+\sqrt{x^2+9})$. \\
  1. Déterminer l'ensemble de définition de $f$. \\
  2. Déterminer les limites en $+\infty$ et $-\infty$ de $f$.
Exercice 333. \\ Montrer que la fonction $f$ : $x \mapsto \ln(\sqrt{x^2+1}+x)$ est une fonction impaire. \\ On justifiera avant que l'ensemble de définition de $f$ est $\R$.
Exercice 334. \\ On cherche à déterminer $\limn \parenthese{1+\frac{1}{n}}^n$. \\
  1. Démontrer que pour tout entier naturel $n > 0$, $\parenthese{1+\Frac{1}{n}}^n = \exp\parenthese{n \ln \parenthese{1+ \Frac{1}{n}}}$ où $\exp$ est la fonction exponentielle. \\
  2. Démontrer que $\limz \Frac{\ln(1+x)}{x} = 1$. \\
  3. En déduire $\limn n \ln\parenthese{1+\Frac{1}{n}}$. \\
  4. Conclure.
Exercice 335. \\ Soient $a$ et $b$ des réels $> 0$. Montrer que \[ \lim_{x\to 0} \Frac{a^x-b^x}{x} = \ln{a}-\ln{b} \] On pourra utiliser le fait que pour tout réel strictement positif $u$, $u^{x} = e^{x\ln{u}}$ et la limite en $0$ de $\Frac{e^x-1}{x}$.
Exercice 336. \\
  1. Montrer que $\limn \Frac{\ln(n+2^{-n})}{2n} = 0$. \\
  2. En déduire que $\limn \Frac{\ln(1+n2^n)}{2n} = \Frac{\ln{2}}{2}$.