Approfondissement / Vers la prépa

Exercice 136. Calculer $\limn \parenthese{\Frac{1}{3^2}+\Frac{4}{3^4}+\hdots+\Frac{4^{n-1}}{3^{2n}}}$.
Exercice 137. On considère le nombre $a : 0,63636363\hdots$ constitué d'une infinité de "63" après la virgule. On pose $a_n = 0,636363\hdots63$ constitué de $n$ fois le nombre 63 après la virgule. Ainsi $a_n$ contient $2n$ chiffres après la virgule. \\
  1. Exprimer $a_n$ en fonction de $n$. \\
  2. Montrer que $a = \Frac{7}{11}$.
Exercice 138. En utilisant une limite de suite, montrer que $0,9999\hdots = 1$.
Exercice 139. La suite $\un$ est définie sur $\N^*$ par $u_n = \sqrt{n+1}-\sqrt{n}$. \\
    1. Montrer que pour tout $n \in \N^*$, $\Frac{1}{2\sqrt{n+1}} \leqslant u_n \leqslant \Frac{1}{2\sqrt{n}}$. \\
    2. En déduire $\limn u_n$. \\
  2. La suite $\vn$ est définie par $v_n = \Frac{u_1+u_2+\hdots+u_n}{\sqrt{n}}$. \\ Exprimer $v_n$ en fonction de $n$ puis donner la limite de $\vn$.
Exercice 140. Soit $\un$ définie pour tout $n\geqslant 1$ par $u_n = 1 + \Frac{1}{\sqrt{2}}+\Frac{1}{\sqrt{3}} + \hdots + \Frac{1}{\sqrt{n}}$. \\
  1. Montrer que pour tout $n \geqslant 1$, $u_n \geqslant \sqrt{n}$. \\
  2. En déduire $\limn u_n$.