Approfondissement / Vers la prépa

Exercice 573. On admet que pour toute suite $\un$, si $\limn u_{2n} = \ell$ et $\limn u_{2n+1} = \ell$, alors la suite $\un$ converge vers $\ell$ avec $\ell \in \R$. \\ On considère trois suites $\an$, $\bn$ et $\cn$ telles que \[ a_0 = 1, \quad b_0 = c_0 = 0 \] et pour tout $n \in \N$, \[ a_n + b_n + c_n = 1 \quad et \quad \begin{cases} a_{n+1} = \Frac{1}{2} b_n \\ \\ b_{n+1} = \Frac{1}{3} a_n \end{cases} \]
  1. Montrer que pour tout $n \in \N$, $a_{n+2} = \Frac{1}{6} a_n$. \\
  2. Montrer que pour tout $p \in \N$, $a_{2p} = \parenthese{\Frac{1}{6}}^{p}$, $a_{2p+1}=0$, $b_{2p} = 0$ et $b_{2p+1} = \Frac{1}{3} \parenthese{\Frac{1}{6}}^p$. \\
  3. Montrer que les suites $\an$, $\cn$ et $\bn$ convergent et donner leur limites.
Exercice 574. Dire si les propositions suivantes sont vraies ou fausses en justifiant. \\
  1. Si $\un$ et $\vn$ sont des suites dont tous les termes sont positifs et si $\un$ diverge vers $+\infty$, alors la suite de terme général $u_n + v_n$ diverge vers $+\infty$. \\
  2. Si la suite $\un$ diverge vers $+\infty$, alors elle est croissante à partir d'un certain rang. \\
  3. Soient $\un$, $\vn$ et $\wn$ trois suites. \\ Si les suites $\un$ et $\vn$ convergent respectivement vers $\ell$ et $\ell'$ et si pour tout $n \in \N$, $u_n \leqslant w_n \leqslant v_n$, alors $\wn$ converge et sa limite est comprise entre $\ell$ et $\ell'$. \\
  4. Si la suite $\un$ n'est pas majorée, alors elle diverge nécessairement vers $+\infty$.
Exercice 575. Soit $\un$ définie sur $\N$ par $u_0 = 1$ et \[ \unp = u_n + \Frac{1}{2^n} + 2 \] \\
  1. Montrer que $\forall n \in \N$, $u_n \geqslant 2n+1$.\\ En déduire la limite de la suite $\un$. \\
  2. Pour tout entier naturel $n$, on pose $v_n = \unp - u_n$. \\ En calculant, pour tout entier $n \geqslant 1$, la somme $\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} v_k$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$.\\ En déduire à nouveau la limite de la suite $\un$.
Exercice 576. Soit la suite $\un$ définie sur $\N^*$ par $u_n = \Frac{n^2}{n!}$.
  1. Donner un algorithme qui restitue les $N$ premiers termes de cette suite.\\ Conjecturer le comportement de $\un$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
  2. Justifier que : $\forall n \in \N^*$, $u_n > 0$. \\
  3. Prouver que, pour tout entier naturel $n \geqslant 2$, $u_{n+1} \leqslant \Frac{3}{4} u_n$. \\
  4. En déduire que, pour tout entier naturel $n \geqslant 2$, $u_n \leqslant \parenthese{ \Frac{3}{4}}^{n-2} u_2$. \\ La suite $\un$ converge-t-elle ?
Exercice 577. Soient $\ell$ un réel, $q \in ]0,1[$ et $\un$ une suite définie sur $\N$ telle que\[ \forall n \in \N, \abs{u_{n+1}-\ell} \leqslant q \abs{u_n-\ell} \]
  1. Montrer que : $\forall n \in \N$, $\abs{u_n - \ell} \leqslant q^n \abs{u_0 - \ell }$. \\
  2. En déduire que la suite $\un$ converge vers le réel $\ell$.
Exercice 578. Soit $(a,b) \in (\R^{*}_{+})^2$ et deux suites $\an$ et $\bn$ définies par $a_0 = a$, $b_0 = b$ et \[ a_{n+1} = \sqrt{a_nb_n} \quad \text{ et } \quad b_{n+1} = \Frac{a_n+b_n}{2} \] \\
  1. Montrer que pour tout $n \in \N$, $a_n$ et $b_n$ existent et sont strictement positifs. \\
  2. Montrer que pour tout $n \in \N^*$, $b_n \geqslant a_n$. \\
    1. Montrer que $\an$ est croissante. \\
    2. Montrer que $\bn$ est décroissante. \\
    3. Montrer que les suites $\an$ et $\bn$ convergent vers une même limite.
Exercice 579. Trouver des suites réelles $\un$ vérifiant : \\
  1. $\un$ bornée mais ne converge pas. \\
  2. $\un$ strictement croissante et majorée. \\
  3. $\un$ n'a pas de limite et $(1/u_n)$ converge. \\
  4. $\un$ et $\vn$ divergent et $(u_n+v_n)$ $(\text{resp.} (u_nv_n))$ converge. \\
  5. $\un$ est croissante majorée par $M$ et ne converge pas vers $M$. \\
  6. $\un$ admet comme limite $+\infty$ et n'est pas croissante à partir d'un certain rang.
Exercice 580. Soit $a$ un nombre réel strictement positif. On définit la suite $\un$ par $u_0 = a$ et $2u_{n+1} = 3u_n^2$. \\
  1. Montrer que $u_n > 0$ pour tout $n \in \N$. On pose alors $v_n = \ln(u_n)$. \\
  2. Exprimer $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$. \\
  3. On pose $w_n = v_n-\ln{2}+\ln{3}$. Montrer que $w$ est une suite géométrique de raison 2. \\
  4. Montrer que $u_n = \Frac{2}{3}e^{(a-\ln{2}+\ln{3})\times2^n}$. \\
  5. A quelle condition portant sur $a$, la suite $u$ est-elle convergente ?
Exercice 581. On considère le nombre $a : 0,63636363\hdots$ constitué d'une infinité de "63" après la virgule. On pose $a_n = 0,636363\hdots63$ constitué de $n$ fois le nombre 63 après la virgule. Ainsi $a_n$ contient $2n$ chiffres après la virgule. \\
  1. Exprimer $a_n$ en fonction de $n$. \\
  2. Montrer que $a = \Frac{7}{11}$.
Exercice 582. La suite $\un$ est définie sur $\N^*$ par $u_n = \sqrt{n+1}-\sqrt{n}$. \\
    1. Montrer que pour tout $n \in \N^*$, $\Frac{1}{2\sqrt{n+1}} \leqslant u_n \leqslant \Frac{1}{2\sqrt{n}}$. \\
    2. En déduire $\limn u_n$. \\
  2. La suite $\vn$ est définie par $v_n = \Frac{u_1+u_2+\hdots+u_n}{\sqrt{n}}$. \\ Exprimer $v_n$ en fonction de $n$ puis donner la limite de $\vn$.
Exercice 583. Soit $\un$ définie pour tout $n\geqslant 1$ par $u_n = 1 + \Frac{1}{\sqrt{2}}+\Frac{1}{\sqrt{3}} + \hdots + \Frac{1}{\sqrt{n}}$. \\
  1. Montrer que pour tout $n \geqslant 1$, $u_n \geqslant \sqrt{n}$. \\
  2. En déduire $\limn u_n$.
Exercice 584. En utilisant une limite de suite, montrer que $0,9999\hdots = 1$.
Exercice 585. Calculer $\limn \parenthese{\Frac{1}{3^2}+\Frac{4}{3^4}+\hdots+\Frac{4^{n-1}}{3^{2n}}}$.