Approfondissement / Vers la prépa
Exercice
89. Soit $\un$ une suite arithmétique de raison $r \neq 0$ et de premier terme $u_0 \neq 0$.\\
- Montrer que pour tout $k \in \N$, $\Frac{r}{u_ku_{k+1}} = \Frac{1}{u_k}-\Frac{1}{u_{k+1}}$.\\
- En sommant ces égalités, montrer que $\displaystyle \sum_{k=0}^{n}\Frac{1}{u_ku_{k+1}} = \Frac{(n+1)}{u_0u_{n+1}}$.
Exercice
90. On considère la suite $\un$ définie par $u_0 = 2$ et pour tout $n \in \N$, $u_{n+1} = 1 - \Frac{1}{u_n}$.\\
Démontrer que la suite $(u_{3n})$ est constante.
Exercice
91. On pose, pour tout $n \geqslant 1$, $u_n = \Sum_{k=0}^{n}e^{k^2}$. \\
- Justifier que, pour tout $k \in \llbracket 0, n-1 \rrbracket$, $e^{k^2} \leqslant e^{(n-1)^2}$. \\
- En déduire l'inégalité $\Sum_{k=0}^{n}e^{k^2} \leqslant ne^{(n-1)^2}+e^{n^2}$. \\
- Montrer que $1 \leqslant \Sum_{k=0}^{n}e^{k^2-n^2} \leqslant ne^{-2n+1}+1$. \\
- En déduire $\limn \Sum_{k=0}^{n}e^{k^2-n^2}$.
Exercice
92. Soit $\un$ la suite définie pour tout $n\geqslant 1$, par $u_n = 1 +\Frac{1}{\sqrt{2}}+\Frac{1}{\sqrt{3}}+\hdots+\Frac{1}{\sqrt{n}}-n$.\\
- Montrer que pour tout $n\geqslant 1$, $u_{n+1} = u_n + \Frac{1}{\sqrt{n+1}}-1$. \\
- En déduire que la suite $\un$ est décroissante.
Exercice
93. Soient les suites $\un$ et $\vn$ définies sur $\N^*$ par $u_1 = v_1 =1$ et pour tout $n \geqslant 2$, \[ u_n = \Sum_{k=1}^{n} \Frac{1}{k^2} \quad et \quad v_n = 1 + \Sum_{k=2}^{n} \Frac{1}{(k-1)k} \]
- Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que $\forall n \geqslant 2$, $\Frac{1}{(n-1)n} = \Frac{a}{n-1}+\Frac{b}{n}$. \\
- Montrer que pour tout $n\geqslant2$, $v_n = 2-\Frac{1}{n}$. \\
- Montrer que $\un$ est croissante et que pour tout $n \in \N$,$u_n \leqslant v_n$ puis en déduire que $\un$ est majorée.
Exercice
94. \\
Soit $\un$ une suite définie sur $\N^*$ telle que :\\
- $u_1 = 2023$;\\
- pour tout entier $n \geqslant 1$, $\displaystyle \sum_{k=1}^{n} u_k = n^2u_n$.\\