Approfondissement / Vers la prépa
Exercice
36. \\
Soit $\un$ la suite définie par $u_0 = 1$ et pour tout $n \in \N$, $u_{n+1} = \Frac{\alpha u_n}{u_n+\alpha}$ avec $\alpha \in \Rpe$.\\
Montrer que pour tout entier naturel $n$, $u_n = \Frac{\alpha}{\alpha+n}$.
Exercice
37. \\
Soit $\un$ la suite définie par $u_0 = 1$ et $\forall n \in \N$, $u_{n+2} = \Frac{n+1}{n+2}u_n$. \\
Montrer que $\forall n \in \N$, $u_{2n} = \Frac{(2n)!}{2^{2n}(n!)^2}$.
Exercice
38. \\
La dérivée $n$-ième d'une fonction $f$ est la fonction notée $f^{(n)}$ obtenue en dérivant $n$-fois la fonction $f$. \\
Soit $f$ définie sur $\R^*$ par $f(x) = \Frac{1}{x}$.\\
Montrer que $f^{(n)}(x) = \Frac{(-1)^n\cdot n!}{x^{n+1}}$.
Exercice
39. \\
Soit $p \geqslant 0$. Soit $\un$ définie par $u_0=0$ et pour tout entier $n \in \N$, $u_{n+1} = \sqrt{u_n^2 + p^2 }$. \\
Calculer $u_n$ en fonction de $n$.
Exercice
40. \\
- Montrer par récurrence que pour tout $n \geqslant 2$, $\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \Frac{1}{\sqrt{k}} > \sqrt{n}$. \\
- Montrer sans passer par un raisonnement par récurrence que pour tout $n \geqslant 1$, $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \Frac{1}{\sqrt{k}} \geqslant \sqrt{n}$.
Exercice
41. \\
Soit $\un$ la suite définie pour tout $n \in \N^*$ par \[ u_n = \sum_{k=0}^{n} \Frac{1}{k!} = \Frac{1}{0!}+\Frac{1}{1!}+\Frac{1}{2!} + \hdots + \Frac{1}{n!} \]
- Montrer que pour tout $k \in \N^*$, $2^{k-1} \leqslant k!$. \\
- Montrer que $\un$ est majorée par 3.
Exercice
42. \\
- Montrer par récurrence que, pour tout entier $n$, $\;\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k \times k! = (n+1)!-1$.\\
- En utilisant le fait que $k = (k+1)-1$, établir le résultat précédent sans passer par une récurrence.