Exercices divers

Exercice 2503. Soient $(\alpha,\beta) \in \R^2$ tels que $(\alpha \neq 1)$ ou $(\alpha = 1$ et $\beta \leqslant 0)$. \\ On pose $\forall n \in \N^* \backslash \{1\}$, $u_n = \Frac{1}{n^{\alpha}\ln^{\beta}(n)}$. \\
  1. Cas $\alpha > 1$. \\ Montrer que $u_n = o\parenthese{\Frac{1}{n^{\frac{\alpha+1}{2}}}}$ et déduire la nature de la série de terme général $u_n$. \\
  2. Cas $\alpha < 1$. \\ Montrer que $\Frac{1}{n^{\frac{\alpha+1}{2}}} = o (u_n)$ et en déduire la nature de la série de terme général $u_n$. \\
  3. Quelle est la nature de la série de terme général $u_n$ quand $\alpha = 1$ et $\beta \leqslant 0$ ?
Exercice 2504. On pose $(a_n)$ une suite décroissante et de limite nulle. On pose $S_n = \Sum_{k=0}^{n} a_k$ et $b_n = n(a_{n-1}-a_n)$. \\
  1. Montrer que pour tout $n \in \N^*$, $\Sum_{k=1}^{n}b_k = \Sum_{k=0}^{n-1}a_k-na_n$. \\
  2. On suppose que la série $\Sum a_n$ converge. \\ En travaillant sur $S_{2n}-S_n$, montrer que $\limn 2na_{2n} = 0$ et $\limn (2n+1)a_{2n+1} = 0$. \\ Montrer que la série $\Sum b_n$ converge et que $\Sum_{n=1}^{+\infty} b_n = \Sum_{n=0}^{+\infty} a_n$. \\
  3. On suppose ici que la série $\Sum b_n$ converge. \\ Montrer que pour tout $(n,k) \in (\N^*)^2$, $n(a_n-a_{n+k}) \leqslant \Sum_{j=n+1}^{n+k} b_j$. \\ En déduire que la série $\Sum a_n$ converge et que $\Sum_{n=0}^{+\infty} a_n = \Sum_{n=1}^{+\infty} b_n$.
Exercice 2505. On admet qu'il existe une application $\varepsilon : ]-1,+\infty[ \to \R$ telle que pour tout $x > -1$, $\ln(1+x) = x-\Frac{x^2}{2}+\Frac{x^3}{3}+x^3\varepsilon(x)$ avec $\limz \varepsilon(x) = 0$. \\ On pose pour tout $n \in \N^*$, $u_n = \Frac{n!}{\sqrt{n}n^ne^{-n}}$. \\
  1. Donner un équivalent de $(\ln(u_{n+1})-\ln(u_n))$. \\
  2. Montrer que $(\ln(u_n))$ converge. \\
  3. Montrer qu'il existe $k > 0$ tel que $n! \sim k\sqrt{n}n^ne^{-n}$.

Exercice 2506. HEC

\\ Soit $(u_n)_{n \in \N}$ une série convergente à termes positifs et de limite nulle.\\ On pose pour tout $n \in \N$, $S_n=\Sum_{k=0}^{n}u_k$ et $v_n=\Frac{u_{n+1}}{S_n}$.\\ \\
  1. Étudier la nature de la série $\Sum_{k \geqslant 0} v_k$ en fonction de la nature de la série $\Sum_{k \geqslant 0} u_k$.\\ Dans le cas où $\Sum_{k}u_k$ diverge, on pourra commencer par étudier $\Sum_{k}\ln(1+v_k)$.\\
  2. Quel résultat obtient-on dans le cas où $u_n=\Frac{1}{n}$ ?
Exercice 2507. Soit $(u_n)$ une suite réelle telle que $u_0 > 0$ et pour tout $n \in \N$, $u_{n+1} = \Frac{2}{\pi}\integrale{0}{u_n}{\arctan\sqrt{1+t^3}}{t}$. \\
  1. Montrer que pour tout $n \in \N$, $u_n$ existe et $u_n > 0$. \\
  2. Montrer que $(u_n)$ est décroissante. \\
  3. En utilisant b et la croissance (à justifier) de $t \mapsto \arctan\sqrt{1+t^3}$ sur $\R^+$, montrer l'existence de $k \in [0,1[$ tel que pour tout $n \in \N$, $u_n \leqslant k^n u_0$. \\
  4. Quelle est la nature de la série de terme général $u_n$ ?

Exercice 2508. HEC

\\ Pour tout entier $n \geqslant 1$, on pose $u_n=\ln(n)+a\ln(n+1)+b\ln(n+2)$.\\ \\
  1. Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que la série de terme général $u_n$ soit convergente.\\
  2. Calculer alors la somme de cette série.

Exercice 2509. HEC

\\ Soit $(u_n)_{n \in \N}$ la suite réelle définie par : $u_0=1$ et $\forall n \in \N$, $u_{n+1}=\Frac{2n+2}{2n+5}u_n$.\\ \\
  1. Soit $\alpha \in \R$.\\ On pose pour tout $n \in \N^*$, $v_n=\Frac{(n+1)^{\alpha}u_{n+1}}{n^{\alpha}u_n}$.\\
    1. Rappeler le développement limité à l’ordre $2$ au voisinage de $0$ de $x \mapsto \ln(1+x)$.\\ Montrer que $\ln v_n=(\alpha+1)\ln\parenthese{1+\Frac{1}{n}}-\ln\parenthese{1+\Frac{5}{2n}}$.\\ Pour quelle valeur $\alpha_0$ du réel $\alpha$ la série de terme général $\ln v_n$ est-elle convergente ?\\
    2. Expliciter $\Sum_{k=1}^{n}\ln v_k$ sans signe $\Sum$, et en déduire qu’il existe un réel strictement positif $C$ tel que $u_n \sim \Frac{C}{n^{\alpha_0}}$.\\ Qu’en déduit-on pour la série $\Sum u_n$ ?\\
    3. Justifier l’existence d’un réel strictement positif $D$ (indépendant de $n$) tel que $\forall n \in \N$, $\Sum_{k=0}^{n}ku_k \leqslant D \times \sqrt{n}$.\\
    1. Établir pour tout entier naturel $n$, la relation : $2\Sum_{k=1}^{n+1}ku_k+3\Sum_{k=1}^{n+1}u_k=2\Sum_{k=0}^{n}ku_k+2\Sum_{k=0}^{n}u_k$.\\
    2. En déduire la valeur de $\Sum_{n=0}^{+\infty}u_n$.

Exercice 2510. ESCP

\\ Sujet $2.6$\\ On pose, pour $n \in \N$, $u_n=\Frac{(-1)^n}{n+1}$ et $S_n=\Sum_{i=0}^{n}u_i$.\\
  1. La série $\Sum u_n$ est-elle absolument convergente ?\\
  2. Montrer que les suites $(S_{2n})_n$ et $(S_{2n+1})_n$ sont adjacentes et en déduire que la série $\Sum u_n$ converge.\\
  3. Montrer que $\forall n \in \N$,\\ \[ \abs{\integrale{0}{1}{\parenthese{\Frac{1}{1+t}-\Sum_{i=0}^{n-1}(-t)^i}}{t}} \leqslant \Frac{1}{n+1}. \]
  4. En déduire la valeur de $\Sum_{n=0}^{+\infty}u_n$.\\ On pose, pour $n \in \N$, $v_{3n}=\Frac{1}{2n+1}$, $v_{3n+1}=-\Frac{1}{4n+2}$, $v_{3n+2}=-\Frac{1}{4n+4}$ et $T_n=\Sum_{i=0}^{n}v_i$.\\
  5. Montrer la suite $(T_{3n+2})$ converge et préciser sa limite.\\
  6. En déduire que la série $\Sum v_n$ converge et préciser la somme de cette série.\\ On considère désormais une suite $(a_n)$ de réels positifs et $\varphi$ une bijection de $\N$ dans $\N$.\\ Pour tout $n \in \N$, on pose $b_n=a_{\varphi(n)}$.\\
  7. Montrer que la série $\Sum a_n$ converge si et seulement si la série $\Sum b_n$ converge et que si la série $\Sum a_n$ converge alors $\Sum_{n=0}^{+\infty}a_n=\Sum_{n=0}^{+\infty}b_n$.\\
  8. Le résultat de la question précédente reste-t-il vrai si l’on ne suppose plus que $\forall n \in \N,\;a_n \geqslant 0$ ?

Exercice 2511. ESCP

\\
  1. Soit $(u_n)_{n \geqslant 1}$ une suite réelle. \\ Montrer que $\limn u_n$ existe et est finie si et seulement si la série $\Sum_{n \geqslant 1} (u_{n+1} - u_n)$ converge. \\
  2. Pour tout entier $n \geqslant 1$, on pose \[ u_n = \left( \Sum_{k=1}^{n} \Frac{1}{k} \right) - \ln(n). \] Montrer que la suite $(u_n)_{n \in \N}$ converge. On note $\gamma$ sa limite. \\
    1. Justifier les inégalités suivantes : \\ $\forall n \geqslant 3$, $\integrale{n}{n+1}{\Frac{\ln(t)}{t}}{t} \leqslant \Frac{\ln(n)}{n}$ \\ et $\forall n \geqslant 4$, $\Frac{\ln(n)}{n} \leqslant \integrale{n-1}{n}{\Frac{\ln(t)}{t}}{t}$. \\
    2. Pour tout $n \geqslant 2$, on pose \[ S_n = \Sum_{k=2}^{n} (-1)^k \Frac{\ln(k)}{k}. \] Montrer que les suites $(S_{2n})_{n \geqslant 1}$ et $(S_{2n+1})_{n \geqslant 1}$ sont adjacentes. \\ Montrer que la suite $(S_n)_{n \geqslant 2}$ est convergente ; on note $S$ sa limite.
    \\
  4. Le but de cette question est de calculer la valeur de $S$ en fonction de $\gamma$. \\ Pour $n \geqslant 3$, on pose \[ t_n = \Sum_{k=1}^{n} \Frac{\ln(k)}{k} \qquad\text{et}\qquad a_n = t_n - \Frac{(\ln(n))^2}{2}. \]
    1. Démontrer que la suite $(a_n)_{n \geqslant 3}$ est convergente. \\
    2. Montrer que pour tout $n \geqslant 3$, \[ S_{2n} = t_n - t_{2n} + \left( \Sum_{k=1}^{n} \Frac{1}{k} \right) \ln(2). \] En déduire une expression de $S_{2n}$ où figurent $a_n$, $a_{2n}$ et $u_n$. \\
    3. Calculer $\limn S_{2n}$ en fonction de $\gamma$ et de $\ln(2)$. Déterminer $S$.

Exercice 2512. ESCP

On pose, pour tout entier naturel $n$ : $a_n=\integrale{0}{1}{t^{n}\sqrt{1-t^{2}}}{t}$.\\
    1. Montrer que la suite $(a_n)$ est décroissante. En déduire qu'elle converge.\\
    2. À l'aide du changement de variable $t=\sin(u)$, calculer $a_0$.\\
    1. Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a : $(n+4)a_{n+2}=(n+1)a_n$.\\
    2. Soit $(w_n)$ la suite définie par : pour tout $n \in \mathbb{N}^{*}$, $w_n=n(n+1)(n+2)a_na_{n-1}$.\\ Montrer que la suite $(w_n)$ est constante, et calculer cette constante.\\
    3. Montrer que $a_n \sim a_{n+1}$ lorsque $n\to+\infty$.\\
    4. Établir l'existence d'un réel $K > 0$ que l'on calculera, tel que $a_n \sim \Frac{K}{n^{3/2}}$ lorsque $n\to+\infty$.\\
    5. En déduire la nature de la série de terme général $b_n=(-1)^n a_n$.\\
    1. Montrer que $\limn\Sum_{k=0}^{n}b_k=\integrale{0}{1}{\sqrt{\Frac{1-t}{1+t}}}{t}$.\\
    2. En utilisant le changement de variable $u=\sqrt{\Frac{1-t}{1+t}}$, calculer l'intégrale $\integrale{0}{1}{\sqrt{\Frac{1-t}{1+t}}}{t}$. Quelle est la somme de la série $\Sum_{n\geqslant 0}b_n$ ?\\