Calcul d'intégrales

Exercice 2469. Calculer les intégrales : \\
  1. $I = \integrale{0}{1}{\Frac{x}{x+1}}{x}$ \\
  2. $I_2 = \integrale{1}{e}{\Frac{\ln{x}}{x}}{x}$ \\
  3. $I_3 = \integrale{e}{e^2}{\Frac{1}{x\ln{x}}}{x}$ \\
  4. $I_4 = \integrale{1}{2}{\Frac{\ln(1+x)}{x^2}}{x}$ \\
  5. $I_5 = \integrale{0}{1}{x(\arctan{x})^2}{x}$ \\
  6. $I_6 = \integrale{1/2}{1}{\Frac{x\ln{x}}{(1+x^2)^2}}{x}$ \\
  7. $I_7 = \integrale{0}{\pi}{\cos(nx)\cos(px)}{x}$ avec $(n,p) \in \N^2$. \\
  8. $I_8 = \integrale{2}{3}{\Frac{1}{x^2-1}}{x}$ \\
  9. $I_9 = \integrale{0}{1}{\Frac{1}{1+e^t}}{t}$ \\
  10. $I_{10} = \integrale{0}{\pi/2}{\cos^3(t)}{t}$.
Exercice 2470. Calculer les intégrales suivantes : \\
  1. $I_1 = \integrale{1}{3}{\Frac{\sqrt{x}}{1+x}}{x}$ avec le changement $x=t^2$. \\
  2. $I_2 = \integrale{-1}{1}{\sqrt{1-x^2}}{x}$ avec $x = \sin{t}$.
Exercice 2471. Calculer $I = \integrale{0}{1}{\Frac{1}{x^2+2x+3}}{x}$.
Exercice 2472. Calculer $I = \integrale{-1}{1}{\Frac{1}{2+\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}}}{x}$ avec le changement de variable $x = \cos(2t)$ puis un changement de variable affine. \\ On donnera un résultat sans ligne trigonométrique.
Exercice 2473. \\
  1. Calculer $I = \integrale{0}{1/2}{\Frac{\sqrt{x}}{1-x^2}}{x}$ avec $x = t^2$. \\
  2. Calculer $J = \integrale{0}{\pi/2}{\Frac{1}{5+2\cos^2{x}}}{x}$ avec $x = \arctan{t}$.
Exercice 2474. Soit $x \in ]0,\pi/2[$. \\ On pose pour tout $n \in \N$, $u_n = \Frac{\integrale{0}{x}{(1-\sin^3{t})^n}{t}}{\integrale{0}{\pi/2}{(1-\sin^3{t})^n}{t}}$. \\
  1. Justifier l'existence. \\
  2. Montrer que $\limn u_n = 1$.