Divisibilité

Exercice 2464. Soit $n$ un entier naturel non nul.\\
  1. Déterminer le reste de la division euclidienne de $X^n$ par $(X-1)(X-2)$.\\
  2. Déterminer le reste de la division euclidienne de $X^n$ par $(X-1)^2(X-2)$.\\
  3. Soit $a$ un réel. Déterminer le reste de la division euclidienne de $(X\sin a+\cos a)^n$ par $X^2+1$.
Exercice 2465. Soit $n$ un entier naturel non nul.\\
  1. On pose : $P_n=(2n-1)X^{n+2}-(2n+1)X^{n+1}+X^2+X$. Prouver que $(X-1)^2$ divise $P_n$.\\
  2. Prouver que $X-1$ divise $X^n-1$ et donner le quotient de la division de $X^n-1$ par $X-1$.\\
  3. Prouver que $X+1$ divise $X^{2n}-1$ et donner le quotient de la division de $X^{2n}-1$ par $X+1$.
Exercice 2466. \\
  1. Déterminer l’ensemble des polynômes $P$ de degré $3$ dans les cas suivants :\\
    1. $P$ a pour coefficient dominant $1$ et vérifie : $P(1)=P(2)=0$.\\
    2. $P(0)=1$ et $P(1)=P(2)=0$.\\
  2. Déterminer l’ensemble des polynômes $P$ de $\R_3[X]$ vérifiant : $P(1)=P'(1)=0$.