Réels, sup, inf

Exercice 2369. Soient $x_0$, $x_1$ et $x_2$ trois réels de l'intervalle $[0;1]$ tels que : $x_0 \leqslant x_1 \leqslant x_2$. \\ Montrer qu'au moins une des quantités $x_1-x_0$ et $x_2-x_1$ est inférieure ou égale à $\Frac{1}{2}$.
Exercice 2370. Soit $n \in \N^*$ et $(x_i)_{1 \leqslant i \leqslant n}$ et $(y_i)_{1 \leqslant i \leqslant n}$ deux familles de réels. Montrer que \[ \abs{ \sup_{i} (\abs{a_i})-\sup_{i}(\abs{b_i})} \leqslant \sup_{i} (\abs{a_i-b_i}) \]
Exercice 2371. Soit $f : \R \to \R$ et $g : \R \to \R$ deux applications bornées. Comparer $\displaystyle \sup_{x \in \R} \{f(x)+g(x)\}$ et $\displaystyle \sup_{x \in \R}\{f(x)\} + \sup_{x \in \R} \{g(x)\}$.
Exercice 2372. Soit $A \subset \R$ et $B = \{y = -x, \; x \in A\}$. \\
  1. Montrer que $B$ est minoré $\iff$ $A$ est majoré. \\
  2. En supposant que $A$ est majoré, montrer que $B$ admet une borne inférieure et $\inf(B) = -\sup(A)$.
Exercice 2373. Soient $A$ et $B$ deux parties non vides et majorées de $\R$. \\ On note $A+B = \{a+b, \; (a,b) \in A \times B \}$. \\ Montrer que $\sup(A+B) = \sup(A)+\sup(B)$.
Exercice 2374. Soient $A$ et $B$ deux parties non vides et majorées de $\R$. \\ Montrer que $\sup(A \cup B) = \max(\sup(A), \sup(B))$.
Exercice 2375. \\ On va montrer que $\Q$ est dense dans $\R$. \\ Soit $a,b \in \R$ tels que $a < b$. On cherche à prouver l'existence d'un rationnel $r$ entre $a$ et $b$ : \[ a < r < b \]
  1. On suppose que $b-a>1$. Déterminer un $r \in \Q$ qui convient. \\
  2. On suppose maintenant que $b-a<1$. Déterminer $q \in \N^*$ tel que $q(b-a)>1$ puis conclure.