Arithmétique des polynômes

Exercice 2085. Déterminer le reste de la division euclidienne de $X^n$ par $X^2-1$.
Exercice 2086. Déterminer le reste de la division euclidienne de $X^n$ par $X^2-1$.
Exercice 2087. Soit $k,n \in \mathbb{N}^*$ et $r$ le reste de la division euclidienne de $k$ par $n$.\\ Montrer que le reste de la division euclidienne de $X^k$ par $X^n-1$ est $X^r$.
Exercice 2088. Soit $P \in \R[X]$ et $a \in \R$. \\ Montrer l'équivalence \[ P(a) = 0 \iff \exist Q \in \R[X], \;\; P(X)=(X-a)Q(X) \]

Exercice 2089. CCP

\\ Soit $n \in \N^\star$. Trouver les couples $(a,b) \in \R^2$ tels que $X^2 + X + 1$ divise $P_n(X) = X^{2n} + aX^n + b$.
Exercice 2090. Soit $t\in\R$.\\ Déterminer le reste de la division euclidienne de $P=(X\cos t+\sin t)^n$ par $X^2+1$.
Exercice 2091. Soit $(a,b) \in \mathbb{K}^2$ tels que $a \neq b$ et $P \in \mathbb{K}[X]$.\\ Exprimer le reste de la division euclidienne de $P$ par $(X-a)(X-b)$ en fonction de $P(a)$ et $P(b)$.
Exercice 2092. Soit $A,B \in K[X]$ tels que $A^2 \mid B^2$.\\ Montrer que $A \mid B$.
Exercice 2093. Soit $A,B \in K[X]$ non nuls.\\ Montrer : $A$ et $B$ sont premiers entre eux si, et seulement si, $A+B$ et $AB$ le sont.
Exercice 2094. Soit $(A,B) \in (K[X])^2$ non nuls.\\ Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes :\\
  1. $A$ et $B$ ne sont pas premiers entre eux.\\
  2. Il existe $(U,V) \in (K[X]-\{0\})^2$ tel que\\ \[ AU + BV = 0,\quad \deg U < \deg B\quad \mathrm{et}\quad \deg V < \deg A. \]
Exercice 2095. Soit $P \in \mathbb{K}[X]$.\\
  1. Montrer que $P(X)-X$ divise $P(P(X))-P(X)$.\\
  2. En déduire que $P(X)-X$ divise $P(P(X))-X$.\\
  3. On note $P^{[n]}=P \circ \cdots \circ P$ (composition à $n \geqslant 1$ facteurs).\\ Établir que $P(X)-X$ divise $P^{[n]}(X)-X$.
Exercice 2096. Soient $A,B,C \in K[X]$ tels que $A$ et $B$ soient premiers entre eux.\\ Montrer que $\mathrm{pgcd}(A,BC) = \mathrm{pgcd}(A,C)$.
Exercice 2097. Déterminer tous les polynômes de $\R[X]$, unitaires, de degré $3$, divisibles par $X-1$, et dont les restes des divisions euclidiennes par $X-2$, $X-3$, $X-4$ sont égaux.
Exercice 2098. Soit $P \in K[X]$.\\ Montrer que $P(X) - X$ divise $P(P(X)) - X$.
Exercice 2099. Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur $n \in \mathbb{N}$ pour que\\ \[ X^2+X+1 \mid X^{2n}+X^n+1. \]
Exercice 2100. Soient $a \in \mathbb{K}$ et $P \in \mathbb{K}[X]$.\\ Exprimer le reste de la division euclidienne de $P$ par $(X-a)^2$ en fonction de $P(a)$ et $P'(a)$.
Exercice 2101. Justifier\\ \[ \forall(n,p,q)\in\mathbb{N}^3,\quad 1+X+X^2 \mid X^{3n}+X^{3p+1}+X^{3q+2}. \]

Exercice 2102. CCP

\\ Soit $n$ un entier naturel non nul.\\
  1. Montrer qu'il existe un unique couple $(P,Q)\in\mathbb{R}_{n-1}[X]^2$ tel que $(1-X)^nP(X)+X^nQ(X)=1$.\\
  2. Montrer que $P(1-X)=Q(X)$, $Q(1-X)=P(X)$.\\
  3. Montrer qu'il existe $a\in\mathbb{R}$, $(1-X)P'(X)-nP(X)=aX^{n-1}$. Déterminer $a$ et $P$.
Exercice 2103. Soit $n \in \N$ et $a,b \in \R$ tels que $a \neq b$. \\ Déterminer le reste de la division euclidienne de $X^n$ par $(X-a)$, puis par $(X-a)(X-b)$ puis par $(X-a)^2$.
Exercice 2104. Trouver le reste de la division euclidienne de $P$ par $Q$ dans les cas suivants :\\
  1. $P=X^{n+1}-X^n+1,\quad Q=X^2-1$.\\
  2. $P=X^{2n}+X^n+X+1,\quad Q=(X-1)^2$.\\
  3. $P=X^{2n+1}-X-1,\quad Q=X^2(X-1)^2$.\\
  4. $P=X^n+X+2,\quad Q=X^3+X^2+X+1$.
Exercice 2105. Soient $p$ et $q$ deux entiers supérieurs à $2$ et premiers entre eux.\\ Montrer que $(X^p-1)(X^q-1)\mid(X-1)(X^{pq}-1)$.
Exercice 2106. Trouver tous les polynômes $P$ de degré $7$ tels que le reste de la division euclidienne de $P$ par $(X + 2)^4$ soit égal à $2$ et le reste de la division euclidienne de $P$ par $(X - 2)^4$ soit égal à $-2$.
Exercice 2107. Déterminer tous les entiers $n \in \N^\star$ tels que $(X^2 + X + 1)^2$ divise $(X + 1)^n - X^n - 1$.
Exercice 2108. Soient $P,Q \in \C[X]$ deux polynômes premiers entre eux. Montrer que si $r$ est racine double de $P^2+Q^2$, alors $r$ est racine de $P'^2+Q'^2$.
Exercice 2109. On cherche les polynômes $P(X) = (X-a)(X-b) \in \mathbb{C}[X]$ tels que $P(X)$ divise $P(X^3)$.\\
  1. Montrer que, si $a=b$, alors $P \in \mathbb{R}[X]$ et que si $a \neq b$ et $a^3 \neq b^3$, il existe $6$ polynômes dont $4$ dans $\mathbb{R}[X]$.\\
  2. Trouver les polynômes $P$ si $a \neq b$ et $a^3 = b^3$ et en déduire que $13$ polynômes en tout conviennent, dont $7$ dans $\mathbb{R}[X]$.
Exercice 2110. Soient $n,m \in \mathbb{N}^*$.\\
  1. De la division euclidienne de $n$ par $m$, déduire celle de $X^n-1$ par $X^m-1$.\\
  2. Établir que\\ \[ \mathrm{pgcd}(X^n-1,X^m-1)=X^{\mathrm{pgcd}(n,m)}-1. \]
Exercice 2111. Soient $P$ et $Q$ deux polynômes non constants de $\C[X]$ tels que $P$ et $Q$ aient même ensemble de racines (dans $\C$), ainsi que $P-1$ et $Q-1$.\\
  1. Soit $n$ le degré de $P$.\\ Montrer que le nombre de zéros distincts de $P$ est égal à $n-\deg(P\wedge P')$.\\
  2. Montrer que $\deg((P-1)\wedge P')+\deg(P\wedge P')\leqslant n-1$.\\
  3. En déduire que $P=Q$.
Exercice 2112. Soit $P \in \mathbb{R}[X]$.\\ Montrer qu’il y a équivalence entre :\\
  1. $\forall x \in \mathbb{R},\; P(x)\geqslant 0$.\\
  2. $\exists (A,B)\in \mathbb{R}[X]^2,\; P=A^2+B^2$.
Exercice 2113. Soit $n \geqslant 2$ un entier naturel. Déterminer tous les polynômes de $\R_n[X]$ divisibles par $X+1$ et dont les restes de la division euclidienne par $X+2$, $X+3$, $\hdots$, $X+n+1$ sont égaux.

Exercice 2114. ENS

\\ Soit $n\in\N$ avec $n\geqslant 3$.\\ Montrer qu'il n'existe pas de polynômes $P,Q,R\in\C[X]$ tels que $P^n+Q^n+R^n=0$ sans que $P,Q,R$ soient tous égaux, à une constante multiplicative près, à un même polynôme.
Exercice 2115. Soit $m \in \C$. Montrer qu’il existe un unique couple $(p,q)\in\C^2$ tel que $X^2+mX-1$ divise $X^3+pX+q$.
Exercice 2116. Déterminer tous les polynômes $P\in\C[X]$ tels que $P(1)=3$, $P(2)=2$ et $P(3)=1$.
Exercice 2117. Soit $n \in \N^*$. Trouver $a$ et $b$ pour que $(X-1)^2$ divise $aX^{n+1}+bX^n+1$, puis expliciter le quotient.