Matrices inversibles

Exercice 2185. Étudier l'inversibilité des matrices suivantes et donner leur inverses si elles sont inversibles :\\ \[ A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix}1&0&2\\0&1&2\\1&1&1\end{pmatrix}, \qquad C=\begin{pmatrix}1&0&1&1\\1&1&1&1\\2&1&1&3\\2&1&0&4\end{pmatrix} \]
Exercice 2186. Soit $A = \begin{pmatrix} 4 & 1 & 1 \\ 1 & 4 & 1 \\ 1 & 1 &4 \end{pmatrix}$. \\ Calculer $A^2$ et montrer qu'il existe deux réels $\alpha$ et $\beta$ tels que $A^2 = \alpha A + \beta I_3$. En déduire que $A$ est inversible puis déterminer $A^{-1}$.
Exercice 2187. Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 \\ -1 & -1 & 2 \\ -2 & -2 & 0 \end{pmatrix}$. \\
  1. Calculer $A^2$ puis $A^3$. \\
  2. En déduire que $A$ n'est pas inversible. \\
  3. Calculer $(I_3-A)(I_3+A+A^2)$ puis en déduire que $I_3-A$ est inversible et déterminer son inverse. \\
  4. De la même manière, montrer que $I_3+A$ est inversible et déterminer son inverse.
Exercice 2188. Soit $A = \begin{pmatrix} 3 & -2 & 3 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$. \\ Vérifier que cette matrice est inversible et calculer son inverse.
Exercice 2189.
  1. Quelles sont les matrices de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ commutant avec toutes les matrices de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ ?\\
  2. Même question avec les matrices commutant avec toutes celles de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{K})$.
Exercice 2190. Soit $n \geqslant 2$. Déterminer les matrices de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ commutant avec toutes les matrices symétriques.
Exercice 2191. Soit $A=\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&3\\0&1&0\end{pmatrix}$. Trouver $a,b,c\in\mathbb{R}$ tels que $A^3+aA^2+bA+cI_3=0$. En déduire que $A$ est inversible, et calculer $A^{-1}$.
Exercice 2192. Soient $n \in \mathbb{N}^*$, $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ des complexes distincts, $A = \mathrm{diag}(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)$ et\\ \[ C(A) = \{\,M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) \mid AM = MA\,\}. \] Montrer que $(A^k)_{0 \leqslant k \leqslant n-1}$ est une base de $C(A)$.
Exercice 2193. Soit $A \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ vérifiant $A + A^{-1} = I_n$.\\ Pour $k \in \mathbb{N}$, calculer $A^k + A^{-k}$.
Exercice 2194. Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ telle que la matrice $I + A$ soit inversible. On pose\\ \[ B=(I-A)(I+A)^{-1}. \]
  1. Montrer que $B=(I+A)^{-1}(I-A)$.\\
  2. Montrer que $I+B$ est inversible et exprimer $A$ en fonction de $B$.
Exercice 2195. Soient $A,B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ où $B$ est nilpotente et commute avec $A$.\\ Montrer que $A$ et $A+B$ sont simultanément inversibles.
Exercice 2196. Justifier que\\ \[ A=\begin{pmatrix} 1&-1&\cdots&-1\\ 0&1&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&-1\\ 0&\cdots&0&1 \end{pmatrix}\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \] est inversible et déterminer $A^{-1}$.
Exercice 2197. Soit $A=(1-\delta_{i,j}) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$.\\
  1. Calculer $A^2$.\\
  2. Montrer que $A$ est inversible et exprimer $A^{-1}$.
Exercice 2198. Soient $A,B,C\in M_n(\mathbb{K})$. On suppose qu'aucune des matrices n'est nulle, et que $ABC=0$. Montrer qu'au moins deux des trois matrices $A,B,C$ sont non inversibles.
Exercice 2199. Soit $A,B \in \mathcal{M}_{n}(\R)$. On suppose que $A+B=AB$. \\ Montrer que $AB=BA$.
Exercice 2200. Soient $A$ et $B$ deux matrices de $\mathcal{M}_n(\R)$. On suppose que $A$ est inversible et qu'il existe $q \in \N^*$ tel que $B^q = \mathcal{O}_n$. \\
  1. Soit $\alpha \in \R^*$ et $Y \in \mathcal{M}_{n,1}(\R)$ tel que $BY=\alpha Y$. Montrer que $Y = 0$. \\
  2. Montrer que, pour tout $\alpha \in \R^*$, la matrice $M_{\alpha} = -\alpha I_n + A^{-1}BA$ est inversible.
Exercice 2201. Montrer que toute matrice inversible peut s'écrire sous forme d'un produit de matrices d'opérations élémentaires.

Exercice 2202. Centrale

\\ Soient $n\in\mathbb{N}^\ast$ et $A$ une sous-algèbre de $M_n(\mathbb{K})$. On suppose que $M\in A$ est une matrice inversible. Montrer que $M^{-1}\in A$.
Exercice 2203. Soient $A$ et $B$ deux matrices de $M_n(\mathbb{C})$ telles que $AB=BA$, et $B$ est nilpotente. Montrer que :\\ \[ A\in GL_n(\mathbb{C})\;\Longleftrightarrow\;A+B\in GL_n(\mathbb{C}).\\ \]
Exercice 2204. Soit $n \in \mathbb{N}$ avec $n \geqslant 2$.\\
  1. Montrer que\\ \[ \{\,A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \mid \forall M \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R}),\; AM = MA\,\} = \{\,\lambda I_n \mid \lambda \in \mathbb{R}\,\}. \]
  2. Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. On suppose que\\ \[ \forall M,N \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}),\; A = MN \implies A = NM. \] Montrer qu'il existe $\lambda \in \mathbb{R}$ tel que $A = \lambda I_n$.
Exercice 2205. Pour tout $n\in\mathbb{N}^\ast$, on pose $\omega=e^{\frac{2i\pi}{n}}$. Soit $A_n$ la matrice $(a_{i,j})_{(i,j)\in\llbracket 1,n\rrbracket^2}$ telle que\\ \[ \forall (i,j)\in\llbracket 1,n\rrbracket^2,\;\;a_{i,j}=\omega^{(i-1)(j-1)}.\\ \]
  1. Calculer l'inverse de $A_3$.\\
  2. Plus généralement, déterminer $A_n^{-1}$.
Exercice 2206. Soit $T \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ une matrice triangulaire supérieure.\\ Montrer que $T$ commute avec sa transposée si, et seulement si, la matrice $T$ est diagonale.
Exercice 2207. Soit $n \geqslant 2$. Déterminer les matrices de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ commutant avec toutes les matrices antisymétriques.
Exercice 2208. On considère la matrice\\ \[ A=\begin{pmatrix}-1&-2\\3&4\end{pmatrix}. \]
  1. Calculer $A^2-3A+2I$. En déduire que $A$ est inversible et calculer son inverse.\\
  2. Pour $n \geqslant 2$, déterminer le reste de la division euclidienne de $X^n$ par $X^2-3X+2$.\\
  3. En déduire l'expression de la matrice $A^n$.
Exercice 2209. Soient $n \in \mathbb{N}\setminus\{0,1\}$ et $\omega=\exp\Big(\Frac{2i\pi}{n}\Big)$. On pose\\ \[ A=\big(\omega^{(k-1)(\ell-1)}\big)_{1 \leqslant k,\ell \leqslant n}\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C}). \] Calculer $A\overline{A}$. En déduire que $A$ est inversible et calculer $A^{-1}$.
Exercice 2210. Soit $n \in \N^*$. On définit la matrice $M$ par $M = (m_{i,j})_{1 \leqslant i,j \leqslant 2n}$ par \[ \forall (i,j) \in \llbracket 1,2n\rrbracket^{2}, \; m_{i,j} = \begin{cases} 1 \; si \; i \leqslant n \\ 0 \; sinon \end{cases} \]
  1. Expliciter $M$ dans le cas $n=1$ et $n=2$. \\
  2. Calculer $M^2$ puis $M^p$ pour tout entier $p \geqslant 1$. \\
  3. $M$ est-elle inversible ? \\
  4. Dans le cas $n=2$, déterminer les valeurs de $\lambda$ pour lesquelles la matrice $M-\lambda I_4$ n'est pas inversible.
Exercice 2211. Déterminer l’inverse de la matrice $A$, en utilisant des méthodes différentes, dans chacun des cas suivants :\\
  1. $A=\begin{pmatrix}1&2\\2&5\end{pmatrix}$.\\
  2. $A=\begin{pmatrix}1&-1&1\\0&1&-1\\0&0&1\end{pmatrix}$.\\
  3. $A=\begin{pmatrix}1&2&3\\1&3&4\\2&4&7\end{pmatrix}$.