Matrices inversibles

1. Calculer $A^2$ puis $A^3$. \\
2. En déduire que $A$ n'est pas inversible. \\
3. Calculer $(I_3-A)(I_3+A+A^2)$ puis en déduire que $I_3-A$ est inversible et déterminer son inverse. \\
4. De la même manière, montrer que $I_3+A$ est inversible et déterminer son inverse.

1. Montrer que, en notant $D=\mathrm{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$, $E=\mathrm{diag}(\mu_1,\ldots,\mu_n)$, on a :\\ \[ B=DAE. \]
2. En déduire que $B$ est inversible si et seulement si $A$ est inversible, et que, dans ce cas, en notant $A^{-1}=(\alpha_{ij})_{1 \leqslant i,j \leqslant n}$, on a :\\ \[ B^{-1}=\Bigl(\mu_i^{-1}\alpha_{ij}\lambda_j^{-1}\Bigr)_{1 \leqslant i,j \leqslant n} \]

1. $A=\begin{pmatrix}1&2\\2&5\end{pmatrix}$.\\
2. $A=\begin{pmatrix}1&-1&1\\0&1&-1\\0&0&1\end{pmatrix}$.\\
3. $A=\begin{pmatrix}1&2&3\\1&3&4\\2&4&7\end{pmatrix}$.

1. Calculer $A^2$.\\
2. Montrer que $A$ est inversible et exprimer $A^{-1}$.

1. Montrer que $B=(I+A)^{-1}(I-A)$.\\
2. Montrer que $I+B$ est inversible et exprimer $A$ en fonction de $B$.

1. Quelles sont les matrices de $M_n(K)$ commutant avec toutes les matrices de $M_n(K)$ ?\\
2. Même question avec les matrices commutant avec toutes celles de $GL_n(K)$.

1. Calculer $(A+I_3)^3$. \\
2. En déduire que $A$ est inversible.

1. Calculer $A^2$. \\
2. Montrer que $A$ est inversible et exprimer $A^{-1}$.

1. Montrer que $B=(I_n+A)^{-1}(I_n-A)$. \\
2. Montrer que $I_n+B$ est inversible et exprimer $A$ en fonction de $B$.

1. $A=\begin{pmatrix}1&2\\2&5\end{pmatrix}$.\\
2. $A=\begin{pmatrix}1&-1&1\\0&1&-1\\0&0&1\end{pmatrix}$.\\
3. $A=\begin{pmatrix}1&2&3\\1&3&4\\2&4&7\end{pmatrix}$

1. Soit $A \in \mathcal{M}_n(\R)$ une matrice symétrique. Démontrer que $\mathrm{Tr}(A^2) \geqslant 0$ et qu’il y a égalité si, et seulement si, $A = 0$. \\
2. Soit $A \in \mathcal{M}_n(\R)$ une matrice symétrique et inversible. Démontrer que $A^{-1}$ est encore symétrique. \\
3. Soit $A \in \mathcal{M}_n(\R)$ telle qu’il existe des matrices $B$ et $C$ de $\mathcal{M}_n(\R)$ telles que $AB = CA = I_n$. Démontrer que $A(B - C)A = 0$, en déduire que $A$ est inversible. \\

1. Soit $\alpha \in \R^*$ et $Y \in \mathcal{M}_{n,1}(\R)$ tel que $BY=\alpha Y$. Montrer que $Y = 0$. \\
2. Montrer que, pour tout $\alpha \in \R^*$, la matrice $M_{\alpha} = -\alpha I_n + A^{-1}BA$ est inversible.

Exercice 4850. Centrale

1. Montrer que\\ \[ \{\,A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \mid \forall M \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R}),\; AM = MA\,\} = \{\,\lambda I_n \mid \lambda \in \mathbb{R}\,\}. \]
2. Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. On suppose que\\ \[ \forall M,N \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}),\; A = MN \implies A = NM. \] Montrer qu'il existe $\lambda \in \mathbb{R}$ tel que $A = \lambda I_n$.

1. Calculer l'inverse de $A_3$.\\
2. Plus généralement, déterminer $A_n^{-1}$.

1. Calculer $A^2-3A+2I$. En déduire que $A$ est inversible et calculer son inverse.\\
2. Pour $n \geqslant 2$, déterminer le reste de la division euclidienne de $X^n$ par $X^2-3X+2$.\\
3. En déduire l'expression de la matrice $A^n$.

1. Quelles sont les matrices de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ commutant avec toutes les matrices de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ ?\\
2. Même question avec les matrices commutant avec toutes celles de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{K})$.

1. Soit $A \in M_n(\mathbb{C})$ définie par : \[ \forall i,j \in \{1,\ldots,n\},\quad a_{i,j}=\binom{j-1}{i-1} \] Montrer que $A$ est inversible et déterminer $A^{-1}$.\\
2. On dit qu’une permutation $\sigma \in S_n$ est un dérangement si elle n’a pas de point fixe. On note $d_n$ le nombre de dérangements de $S_n$. Montrer que : \[ n!=\Sum_{k=0}^n \binom{n}{k}d_k \] En déduire une expression de $d_n$.

1. $(i)\;$ $A,B,C$ sont deux à deux semblables.\\
2. $(ii)\;$ $\exists (X,Y,Z)\in (\mathrm{M}_n(K))^3,\; XYZ=A,\; YZX=B,\; ZXY=C.$

1. Montrer que \[ \{A \in M_n(\mathbb{R}) \mid \forall M \in GL_n(\mathbb{R}),\ AM=MA\} = \{\lambda I_n \mid \lambda \in \mathbb{R}\}. \]
2. Soit $A \in M_n(\mathbb{R})$. On suppose que \[ \forall M,N \in M_n(\mathbb{R}),\quad A=MN \Longrightarrow A=NM. \] Montrer qu'il existe $\lambda \in \mathbb{R}$ tel que $A=\lambda I_n$.

1. Montrer que, pour tous $\sigma,\sigma' \in \mathfrak{S}_n$, \[ P(\sigma \circ \sigma')=P(\sigma)P(\sigma'). \]
2. En déduire que $E=\{P(\sigma)\mid \sigma \in \mathfrak{S}_n\}$ est un sous-groupe de $GL_n(\mathbb{R})$ isomorphe à $\mathfrak{S}_n$.
3. Vérifier que \[ {}^tP(\sigma)=P(\sigma^{-1}). \]

1. Montrer que $\ker(A)=\{0\}$.\\
2. En déduire que $A$ est inversible.

1. Calculer $M^{-1}$ lorsque $M$ est inversible.\\
2. A quelle condition a-t-on $M^{-1}\in\mathcal{M}_n(\mathbb{Z})$ ?\\
3. Soit\\ \[ A=\begin{pmatrix} a&b&b\\ b&a&b\\ b&b&a \end{pmatrix}\in\mathcal{M}_3(\mathbb{K}). \] Calculer $A^n$ pour $n \geqslant 1$.

1. Calculer les puissances $A^n$.\\
2. Déterminer l’inverse de $A$.\\
3. Trouver une matrice $B$ telle que $B^2=A$.

1. Expliciter $M$ dans le cas $n=1$ et $n=2$. \\
2. Calculer $M^2$ puis $M^p$ pour tout entier $p \geqslant 1$. \\
3. $M$ est-elle inversible ? \\
4. Dans le cas $n=2$, déterminer les valeurs de $\lambda$ pour lesquelles la matrice $M-\lambda I_4$ n'est pas inversible.

1. Déterminer une matrice triangulaire supérieure $U$ avec des $1$ sur la diagonale telle que $A=U^T \times U$.\\
2. En déduire que $A$ est inversible et calculer $A^{-1}$.\\
3. Montrer que pour tout $\lambda\in \mathbb{R}$, si $A^{-1}-\lambda I_n$ n'est pas inversible, alors il existe $\theta\in \mathbb{R}$ tel que $\lambda=2-2\cos\theta$.