Exercices divers

Exercice 2467. HEC

\\ Somme des dérivées d’un polynôme positif\\ \\

Soit $P$ un trinôme tel que : $\forall x \in \R,\;P(x)\geqslant 0$.\\ Montrer que pour tout $x \in \R$, $P(x)+P'(x)+P''(x)\geqslant 0$.\\
Plus généralement, soit $P$ un polynôme de degré $n$ ($n \in \N$) tel que $\forall x \in \R,\;P(x)\geqslant 0$.\\
1. Que peut-on dire de la parité de $n$ ?\\
2. Montrer que pour tout $x \in \R$, $P(x)+P''(x)+\cdots+P^{(n)}(x)\geqslant 0$.

Soient $a,b,c$ des réels et $T$ le trinôme $T(X)=aX^2+bX+c$.\\ On note $T'$ et $T''$ respectivement, les dérivées premières et seconde de la fonction $T$.\\
1. Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur les réels $a,b,c$ pour que, pour tout $x \in \R$, on ait : $T(x)\geqslant 0$.\\
2. On suppose que $T$ possède deux racines réelles distinctes.\\ Déduire de la question précédente que :\\ \[ \forall x \in \R,\quad T(x)T''(x)\leqslant (T')^2(x). \]
\\ Dans la suite de l’exercice, on note $n$ un entier supérieur ou égal à $2$, et $P$ un polynôme de $\R[X]$ de degré $n$, ayant $n$ racines réelles distinctes.\\ On pose $P=\Sum_{k=0}^{n}a_kX^k$.\\ On note $P'$ et $P''$ respectivement, les dérivées première et seconde de $P$.\\ \\
Montrer que $P'$ possède $(n-1)$ racines réelles.\\
1. Montrer que la fonction $x \mapsto \Frac{P'(x)}{P(x)}$ est décroissante sur chaque intervalle de son ensemble de définition.\\
2. En déduire que pour tout $x \in \R$, on a : $P(x)P''(x)\leqslant (P')^2(x)$.\\
À l’aide des questions précédentes, établir pour tout $k \in [\![0,n-2]\!]$, l’inégalité : $a_ka_{k+2}\leqslant a_{k+1}^2$.