Polynômes, racines, multiplicité

Exercice 2458. \\
    1. Soit $P \in \R[X]$, non constant. Déterminer le degré et le coefficient dominant de $P(X+1)-P(X)$ en fonction de ceux de $P$.\\
    2. Déterminer l’ensemble des polynômes vérifiant : $P(X+1)=P(X)$.\\
  2. Même question avec $P(X+1)+P(X)$.
Exercice 2459. Soient $p$ un entier naturel et $H_p$ un polynôme vérifiant : $H_p''-2XH_p'+2pH_p=0$.\\
  1. Montrer que $H_p$ est de degré $p$.\\
  2. On suppose que le coefficient dominant de $H_p$ vaut $1$. On dit que $H_p$ est unitaire.\\
    1. Si $p \geqslant 0$, déterminer le coefficient du monôme de degré $p-1$ de $H_p$.\\
    2. Si $p \geqslant 1$, déterminer le coefficient du monôme de degré $p-2$ de $H_p$.\\
Exercice 2460. Soit $n$ un entier naturel non nul.\\
  1. On définit l’application $f_n$ par : $\forall P \in \R_n[X],\;\; f_n(P)=P(X+1)+P(X-1)-2P(X)$.\\
    1. Montrer que $\forall P \in \R_n[X],\;\; f_n(P)\in\R_n[X]$.\\
    2. Calculer $f_n(1)$ et $f_n(X)$.\\
    3. Montrer que si $P$ est de degré $p \geqslant 2$, $f_n(P)$ est de degré $p-2$. En déduire que $f_n \circ f_n \circ \cdots \circ f_n$ ($n$ fois) est l’application nulle.\\
    4. Exprimer $f_n(X^{2p})$ pour tout entier $p$ vérifiant $1 \leqslant p \leqslant \Frac{n-1}{2}$.\\
    5. Exprimer $f_n(X^{2p+1})$ pour tout entier $p$ vérifiant $1 \leqslant p \leqslant \Frac{n-2}{2}$.\\
  2. On définit l’application $g_n$ par : $\forall P \in \R_n[X],\;\; g_n(P)=\Sum_{k=0}^{n}P^{(k)}$.\\
    1. Résoudre : $g_n(P)=0$ et $g_n(P)=P$.\\
    2. Calculer $g_n(X^p)$ pour tout $p \in \llbracket 0,n\rrbracket$.\\
    3. Montrer que $g_n$ est bijective de $\R_n[X]$ dans lui-même et déterminer sa réciproque $g_n^{-1}$.
Exercice 2461. Soit la suite de fonctions $(B_n)_{n\in\N}$ définie par les relations :\\ (1) $\forall x \in \R,\;\; B_0(x)=1$\\ (2) $\forall x \in \R,\;\; nB_n'(x)=B_{n-1}(x)$\\ (3) $\forall n \in \N,\;\; B_n(0)+B_n(1)=0$\\
  1. Déterminer $B_1$, $B_2$ et $B_3$.\\
  2. Montrer que les relations $(1)$, $(2)$ et $(3)$ définissent une et une seule suite de fonctions polynomiales dont on déterminera le degré et le coefficient dominant.\\
  3. Montrer que la suite de polynômes $((-1)^nB_n(1-X))_{n\in\N}$ vérifie $(1)$, $(2)$ et $(3)$. Que peut-on en déduire ?
Exercice 2462. On pose : $\forall n \in \N,\;\; P_n=\Prod_{k=0}^{n}(X-k)$.\\
  1. Expliciter $P_0$, $P_1$ et $P_2$.\\
  2. Préciser les racines et le coefficient dominant de $P_n$.\\
  3. Calculer $P_n(X+1)-P_n(X)$.
Exercice 2463. Soit $n$ un entier naturel non nul. On pose $U_n=X^n(1-X)^n$ et $L_n(X)=U_n^{(n)}$, dérivée $n$-ième de $U_n$.\\
  1. Calculer $U_1$, $U_2$ et $U_3$ puis $L_1$, $L_2$ et $L_3$.\\
  2. Déterminer le degré et le coefficient dominant de $U_n$.\\
  3. En déduire le degré et le coefficient dominant de $L_n$.\\
  4. Déterminer les racines de $U_n$. On précisera les ordres de multiplicité respectifs.\\
  5. $0$ et $1$ sont-ils racines de $L_n$ ?\\
  6. Soit $i \in \llbracket 0,n-1\rrbracket$. Montrer que :\\ \[ \Sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\binom{n+k}{i}(-1)^k=0. \]