Fonctions polynômiales

Exercice 2450. Déterminer l'ensemble des polynômes réels $P \in \R[X]$ tels que $\forall x \in \R$, $P(x+2)=P(x)$.
Exercice 2451. Soit $n \in \N^*$.\\
  1. En considérant la fonction polynomiale $x \mapsto (x+1)^n$, déterminer la valeur de $\Sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}$ et de $\Sum_{k=0}^{n}\Frac{\binom{n}{k}}{k+1}$.\\
  2. Exprimer $\Sum_{k=0}^{n}k(k-1)\binom{n}{k}$ puis $\Sum_{k=0}^{n}k^2\binom{n}{k}$ en fonction de $n$.\\
  3. Montrer que pour tout réel $x$ : $\Sum_{k=0}^{n-1}\binom{n}{k}x^k=\Sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k}x^{k-1}$. En déduire que : $\Sum_{k=1}^{n}\Frac{1}{k}=\Sum_{k=1}^{n}(-1)^{k-1}\Frac{1}{k}\binom{n}{k}$.\\
Soit $n_1$ et $n_2$ deux entiers naturels non nuls et $n$ un entier naturel vérifiant $n \leqslant n_1+n_2$. En considérant la fonction polynomiale $x \mapsto (x+1)^{n_1+n_2}$, prouver que :\\ \[ \Sum_{k=0}^{n}\binom{n_1}{k}\binom{n_2}{n-k}=\binom{n_1+n_2}{n} \]
Exercice 2452. Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : $f(x)=x^p-x^{p-1}-1$.\\
  1. Étudier les variations de $f$.\\
  2. En déduire que $f$ s’annule exactement une fois sur $\R$, en un réel $C$ strictement supérieur à $1$.\\
  3. Prouver que $f(x)\geqslant 0$ si et seulement si $x \geqslant C$.
Exercice 2453. Pour tout entier naturel $n$, on pose : $\forall x \in \R,\;\; P_n(x)=\Sum_{k=0}^{n}\Frac{x^k}{k!}$.\\
  1. Montrer que pour tout $n \in \N^*$, $P_n$ admet uniquement des racines simples.\\
    1. Établir que : $\forall n \in \N,\;\; \forall x \in \R,\;\; P_{2n+1}(x) < e^x < P_{2n}(x)$.\\
    2. En déduire que pour tout entier naturel $n$, $P_{2n+1}$ est strictement positive sur $\R$ et que $P_{2n+1}$ réalise une bijection croissante de $\R$ sur $\R_+^*$.\\
    3. En déduire pour tout entier naturel $n$ non nul le nombre de racines réelles de $P_{2n}$.\\
  3. Soit $x \in \R_-^*$.\\
    1. Prouver que les suites $(P_{2n}(x))_{n\in\N}$ et $(P_{2n+1}(x))_{n\in\N}$ sont adjacentes.\\
    2. En déduire que : $\limn \Sum_{k=0}^{n}\Frac{x^k}{k!}=e^x$.\\
  4. Soit $x \in \R_+^*$.\\
    1. Montrer que : $\forall n \in \N,\;\; P_n(x)\leqslant e^x$.\\
    2. En déduire que $(P_n(x))_{n\in\N}$ converge.
Exercice 2454. \\
  1. Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$, $\lambda$ un réel et $P$ une fonction polynomiale avec : $\forall x \in \R,\;\; P(x)=\Sum_{k=0}^{n}a_kx^k$.\\
    1. Établir que : $\forall x \in \R,\;\; P(x)-P(\lambda)=(x-\lambda)\Sum_{k=1}^{n}a_k\Sum_{j=0}^{k-1}x^j\lambda^{k-1-j}$.\\
    2. En déduire que $\lambda$ est racine de $P$ d’ordre au moins $2$ si et seulement si $P'(\lambda)=0$.\\
  2. Soit $P$ une fonction polynomiale et $\lambda$ une racine de $P$.\\
    1. Montrer que $\lambda$ est racine de $P$ d’ordre pair si et seulement si $P$ s’annule sans changer de signe en $\lambda$.\\
    2. Montrer que $\lambda$ est racine de $P$ d’ordre impair si et seulement si $P$ s’annule en changeant de signe en $\lambda$.
Exercice 2455. \\
  1. À quelle(s) condition(s) une fonction polynomiale $P$ est-elle surjective de $\R$ sur $\R$ ? Est-elle nécessairement bijective ?\\
  2. À quelle(s) condition(s) une fonction polynomiale $P$ est-elle injective de $\R$ sur $\R$ ? Est-elle nécessairement bijective ?\\
  3. Que peut-on dire d’une fonction polynomiale de degré impair ?
Exercice 2456. On dit qu’un polynôme $P$ est positif si : $\forall x \in \R,\;\; P(x)\geqslant 0$.\\
  1. Montrer que tout polynôme positif de degré $2$ est somme de deux carrés de polynômes, c’est-à-dire qu’il existe deux polynômes $A$ et $B$ tel que $P=A^2+B^2$.\\
  2. En remarquant que si $A,B,C,D$ sont quatre polynômes, on a : $(A^2+B^2)(C^2+D^2)=(AC+BD)^2+(AD-BC)^2$, montrer que tout polynôme positif est somme de deux carrés de polynômes.
Exercice 2457. \\ Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$ et soit $x_1,x_2,\ldots,x_n$ $n$ réels deux à deux distincts. Pour tout $j \in \llbracket 1,n\rrbracket$, on pose :\\ \[ L_j(X)=\Prod_{\substack{1 \leqslant k \leqslant n\\ k \neq j}}\Frac{X-x_k}{x_j-x_k}.\\ \]
  1. Soit $j \in \llbracket 1,n\rrbracket$.\\
    1. Déterminer le degré de $L_j$.\\
    2. Calculer pour tout entier naturel $k \in \llbracket 1,n\rrbracket$ la valeur de : $L_j(x_k)$.\\
  2. Soit $P \in \R_{n-1}[X]$. Montrer qu’il existe un unique $n$-uplet $(\lambda_k)_{k\in\llbracket 1,n\rrbracket}$ de réels que l’on déterminera tel que :\\ \[ P=\Sum_{k=1}^{n}\lambda_kL_k.\\ \]
  3. Soit $f$ une fonction définie sur $\R$. Montrer qu’il existe un seul élément $P_f$ de $\R_{n-1}[X]$ (que l’on déterminera) tel que : $\forall j \in \llbracket 1,n\rrbracket,\;\; P_f(x_j)=f(x_j)$.\\
  4. Soit $j \in \llbracket 1,n\rrbracket$. Montrer que $L_j$ est le seul polynôme de $\R_{n-1}[X]$ vérifiant les propriétés trouvées en question $1$.