Continuité locale

Exercice 2405. Soit $f : \R \to \R$ définie par $f(x) = e^{x\ln{x}}$. \\ $f$ est-elle prolongeable par continuité en $0$ ?
Exercice 2406. Soit $f : \R \to \R$ définie par $f(x) = \begin{cases} \Frac{\abs{x-1}}{1-\sqrt{x}} \quad si \;\; x \neq 1 \\ 2 \quad si \;\; x = 1 \end{cases}$. \\ $f$ est-elle continue sur $\R$ ?
Exercice 2407. Soit $f : \R \to \R$ définie par $f(x) = \begin{cases} \Frac{x^2}{e^x-1} \quad si \;\; x < 0 \\ x \sin\parenthese{\Frac{1}{x}} \quad si \;\; x > 0 \end{cases}$. \\ $f$ est-elle continue sur $\R$ ?
Exercice 2408. Soit $f : \R \to \R$ définie par $f(x) = \sin{\Frac{1}{x}}$ si $x \neq 0$ et $f(0)=0$. \\ Montrer que $f$ n'est pas continue en $0$.
Exercice 2409. Etudier la continuité sur $\R$ de l'application $f : x \mapsto \lfloor x \rfloor + \sqrt{x-\lfloor x \rfloor}$.
Exercice 2410. Étudier la continuité de la fonction $f : \R \longrightarrow \R$ définie par\\ \[ f(x)=[x]+(x-[x])^{2}. \]
Exercice 2411. Étudier la continuité et les prolongements par continuité éventuels de $f$ définie sur $\mathbb{R}_+^\ast$ par :\\ \[ f(x)=1-x\left\lfloor\Frac{1}{x}\right\rfloor. \]