Suites et fonctions

Exercice 304. On considère la fonction $g$ définie sur $[0,1]$ par $g(x) = 2x-x^2$.\\ On considère la suite $\un$ définie par $u_0 = \Frac{1}{2}$ et $u_{n+1} = g(u_n)$. \\
  1. Montrer que $g$ est strictement croissante sur $[0,1]$. \\
  2. Montrer par récurrence que pour tout $n \in \N$, on a $0 < u_n < u_{n+1} < 1$. \\
    1. Montrer que $\un$ converge vers une limite $\ell$. \\
    2. Déterminer la limite $\ell$ de la suite $\un$.
Exercice 305. Soit$\un$ la suite définie par $u_0 = \Frac{1}{2}$, $u_{n+1} = u_n^2+\Frac{3}{16}$. \\
  1. Etudier les variations de la fonction $f$ : $x \mapsto x^2+\Frac{3}{16}$. \\
  2. Montrer que pour tout $n \in\N$, $u_n \geqslant 0$. \\
  3. Montrer que $\un$ est décroissante. \\
  4. Montrer que $\un$ converge et déterminer sa limite.
Exercice 306. Soit $\un$ la suite définie par $u_0 = 1$ et $\forall n \in \N, \quad u_{n+1} = \sqrt{u_n+12}$.\\
  1. Montrer que pour tout $n \in \N$, $u_n$ est défini et $0 < u_n < 4$. \\
  2. Montrer que $\un$ est strictement croissante. \\
  3. En déduire que $\un$ converge vers une limite $\ell \in \R$ que l'on déterminera.
Exercice 307. Soit $f$ définie sur $\Rp$ par $f(x) = 1-e^{-x}$.\\ On considère la suite $\un$ définie par $u_1 = 1$ et pour tout $n \geqslant 1$, $u_{n+1} = f(u_n)$. \\
  1. Etudier les variations de $f$. \\
  2. Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul on a $u_n > 0$. \\
  3. Calculer $u_2$ puis étudier la monotonie de la suite $\un$. \\
  4. En déduire que la suite est convergente puis déterminer sa limite. On pourra étudier la fonction $x \mapsto f(x)-x$.
Exercice 308. On considère la fonction $f$ : $\R \to \R$ définie par $f(x) = \Frac{x^3+6x+1}{9}$.\\ On définit la suite $\un$ en posant $u_0 = 0$ et pour tout $n \in \N$, $u_{n+1} = f(u_n)$. \\
  1. Montrer que l'équation $f(x)=x$ possède une solution unique $\alpha$ sur l'intervalle $\left[0 ,\Frac{1}{2}\right]$. \\
  2. Montrer que $\forall n \in \N$, $0 \leqslant u_n \leqslant \alpha$. \\
  3. Déterminer la monotonie de $\un$. \\
  4. Etablir la convergence de $\un$ et déterminer sa limite.
Exercice 309. Soit $f$ définie sur $I=]-\infty,5[$ par $f(x) = \Frac{4}{5-x}$. \\ Soit $\un$ définie par $u_0 = 4$ et $\forall n \in \N$, $u_{n+1} = f(u_n)$. \\
  1. Etudier les variations de $f$ sur $I$. \\
  2. Montrer que, $\forall n \in \N$, $1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n \leqslant 4$. \\
  3. Montrer que $\un$ converge et déterminer sa limite. \\
  4. Le comportement de la suite serait-il identique en choisissant comme terme initial $u_0 = 4$ au lieu de $u_0 = 3$ ?
Exercice 310. Soit $f$ définie sur $\Rp$ par $f(x) =\sqrt{x+1}$. \\
  1. Montrer que l'équation $f(x)=x$ admet pour unique solution $\ell = \Frac{1+\sqrt{5}}{2}$. \\
  2. Montrer que $f$ est croissante sur $\Rp$. \\
  3. Soit $\un$ définie par $u_0 = 5$ et $u_{n+1} = f(u_n)$. \\
    1. Montrer que pour tout $n \in \N$, $1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n$. \\
    2. Montrer que $\un$ converge vers $\ell = \Frac{1+\sqrt{5}}{2}$.