Partie entière

Exercice 2356. Résoudre dans $\R$ l'équation $\lfloor 2x+1 \rfloor = \lfloor x + 4 \rfloor$.
Exercice 2357. Soient $x$ et $y$ deux réels. \\
  1. Calculer $\lfloor x \rfloor + \lfloor -x \rfloor$. \\
  2. Montrer que $\lfloor x+y \rfloor - \lfloor x \rfloor - \lfloor y \rfloor \in \{0,1\}$. \\
  3. Soit $n \in \N^*$, à quelle condition sur $x$ a-t-on $\lfloor nx \rfloor = n \lfloor x \rfloor$ ?
Exercice 2358. \\
  1. Montrer que pour tout $x \in \R$, $\lfloor 2x \rfloor - 2 \lfloor x \rfloor \in \{0,1\}$. \\
  2. Montrer que pour tout $x \in \R$, $\lfloor x \rfloor + \left\lfloor x +\Frac{1}{2} \right\rfloor = \lfloor 2x \rfloor$.
Exercice 2359. Soit $x \in \R$ et $n \in \N^*$. Montrer que \[ \left\lfloor \Frac{\lfloor nx\rfloor}{n}\right\rfloor = \lfloor x\rfloor \]
Exercice 2360. Montrer que $\lfloor \sqrt{x} \rfloor = \lfloor \sqrt{ \lfloor x \rfloor} \rfloor$.
Exercice 2361. Soit $n \geqslant 1$ un entier. \\
  1. Démontrer que $2n \leqslant 2\sqrt{n(n+1)} < 2n+1$. \\
  2. En déduire la valeur de $\lfloor (\sqrt{n}+\sqrt{n+1})^2 \rfloor$.
Exercice 2362. Soit $x$ un nombre réel. Calculer \[ \limn \Frac{1}{n^2}\Sum_{k=1}^{n} \lfloor kx \rfloor \]
Exercice 2363. \\
  1. Montrer que pour tout $n \in \N^*$, $\lfloor \sqrt{n^4+2n^3+3n^2+1} \rfloor = n^2+n$. \\
  2. En déduire l'ensemble des entiers $n \in \N^*$ tels que $n^4+2n^3+3n^2+1$ est le carré d'un entier.
Exercice 2364. Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par \[ f(x) = \lfloor 2x \rfloor - \lfloor x \rfloor - \left\lfloor x + \Frac{1}{2} \right\rfloor \quad \text{pour tout } x \in \R . \]
  1. Démontrer que $f$ est périodique. \\
  2. Démontrer que $f$ est nulle sur $[0,1[$. \\
  3. En déduire que pour tout $x \in \R$, \[ \lfloor 2x \rfloor - \lfloor x \rfloor = \left\lfloor x + \Frac{1}{2} \right\rfloor . \] \\
  4. Montrer que \[ \lim_{n \to +\infty} \Sum_{k=0}^{n} \left\lfloor \Frac{x + 2^k}{2^{k+1}} \right\rfloor = \lfloor x \rfloor . \]
Exercice 2365. Vérifier que pour tout entier naturel $n$ on a \[ \left\lfloor \sqrt{n} + \sqrt{n+1} \right\rfloor = \left\lfloor \sqrt{4n+2} \right\rfloor . \]
Exercice 2366. Calculer pour $n \in \N^*$, $S_n = \Sum_{k=1}^{n^2} \lfloor \sqrt{k} \rfloor$.