Valeur absolue

Exercice 2350. Soient $(x,y) \in \R^2$, démontrer que \\
  1. $\max(x,y)=\Frac{1}{2}(x+y+\abs{x-y})$. \\
  2. $\min(x,y) = \Frac{1}{2}(x+y-\abs{x-y})$.
Exercice 2351. Montrer que pour tous réels $x,y$ positifs, $\abs{\sqrt{2+x}-\sqrt{2+y}} \leqslant \Frac{\abs{x-y}}{2\sqrt{2}}$.
Exercice 2352. Montrer que pour tout réels $x,y$, \[ 1 + \abs{xy-1} \leqslant (1+\abs{x-1})(1+\abs{y-1}) \]
Exercice 2353. \\
  1. Montrer que pour tout réels $a$ et $b$ strictement positifs, $\sqrt{a+b} \leqslant \sqrt{a}+\sqrt{b}$. \\ Dans quel cas a-t-on égalité ? \\
  2. En déduire que pour tout $x,y \in \R$, $\abs{\sqrt{\abs{x}}-\sqrt{\abs{y}}} \leqslant \sqrt{\abs{x-y}}$.
Exercice 2354. Montrer que pour tout réels $x$ et $y$ strictement positifs, on a $\abs{\sqrt{y}-\sqrt{x}} \leqslant \sqrt{\abs{y-x}}$.
Exercice 2355. Montrer que pour tout réels non nuls $x$ et $y$, \[ \max(\abs{x},\abs{y}) \abs{\Frac{x}{\abs{x}}-\Frac{y}{\abs{y}}} \leqslant 2 \abs{x-y} \]