Théorème des valeurs intermédiaires

Exercice 297. $g$ est la fonction définie sur $\R$ par $g(x) = e^x-(x+2)$. \\
  1. Dresser le tableau de variations de $g$. \\
  2. Démontrer que l'équation $g(x) =0$ admet exactement deux solutions dans $\R$. \\
  3. Avec la calculatrice, donner l'arrondi au millième des deux solutions.
Exercice 300. Soit $\varphi$ la fonction définie sur $\R$ par $\varphi(x) = (x^2+x+1)e^{-x}-1$. \\ Montrer que l'équation $\varphi(x)=0$ admet deux solutions dans $\R$, dont l'une dans l'intervalle $[1,+\infty[$ qui sera notée $\alpha$. \\ Déterminer un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de $\alpha$ puis en déduire le signe de $\varphi(x)$ sur $\R$.
Exercice 301. Soit $g$ définie sur $\R$ par $g(x) = (x+2)e^{x-4}-2$. \\
    1. Déterminer les limites de $g$ en $+\infty$ et $-\infty$. \\
    2. Montrer que l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution notée $\alpha$ sur $\R$. \\ \\ On admettra que $\alpha > 0$ \\ \\
    3. En déduire le signe de $g$ sur $\R$. \\
  2. Soit $f$ définie sur $\Rp$ par $f(x) = x^2-x^2e^{x-4}$. \\
    1. Exprimer $f'(x)$ en fonction de $g(x)$. \\
    2. Montrer que le maximum de la fonction $f$ sur $\Rp$ est égal à $\Frac{\alpha^3}{\alpha+2}$.
Exercice 302. Soit $\varphi$ la fonction définie sur $\R$ par \[ \varphi(x) = e^x+x+1 \] \\
  1. Etudier le sens de variation de $\varphi$ et ses limites en $+\infty$ et $-\infty$. \\
  2. Montrer que l'équation $\varphi(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ telle que $-1,28 < \alpha < -1,27$. \\
  3. En déduire le signe de $\varphi(x)$ sur $\R$. \\ Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = \Frac{xe^x}{e^x+1}$. \\
  4. Montrer que $f'(x) = \Frac{e^x\varphi(x)}{(e^x+1)^2}$. En déduire le sens de variations de $f$. \\
  5. Montrer que $f(\alpha) = \alpha + 1$ et en déduire un encadrement de $f(\alpha)$. \\
Exercice 303. On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $ f(x) = \Frac{7}{2} - \Frac{1}{2} \left(e^x + e^{-x}\right)$. \\
    1. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.\\
    2. Montrer que la fonction $f$ est strictement décroissante sur l’intervalle $[0 ; +\infty[$.\\
    3. Montrer que l’équation $f(x) = 0$ admet, sur l’intervalle $[0 ; +\infty[$, une unique solution, que l’on note $\alpha$.\\
  2. En remarquant que, pour tout réel $x$, $f(-x) = f(x)$, justifier que l’équation $f(x) = 0$ admet exactement deux solutions dans $\mathbb{R}$ et qu’elles sont opposées.