Binôme de Newton

Exercice 2332. Calculer : \\
  1. $A = \Sum_{k=0}^{n} \displaystyle \binom{n}{k}$. \\
  2. $S = \Sum_{k=0}^{n} \Frac{1}{2^k}\binom n k$.\\
  3. $T = \displaystyle \sum_{k=1}^{n}(-1)^k\binom n k$. \\
  4. $V = \displaystyle \sum_{k=0}^{n} \Frac{1}{k+1}\binom n k $.
Exercice 2333. Pour tout $n \geqslant p$, montrer que $\displaystyle \sum_{k=p}^{n} \binom k p = \displaystyle \binom{n+1}{p+1}$.
Exercice 2334. Calculer la somme $\Sum_{k=0}^{n-1}\binom{n}{k+1}2^{k}3^{n-k}$.
Exercice 2335. Montrer que pour tout entier $n,p \in \N$, $\Sum_{k=0}^{p} \binom{n+k}{n} = \binom{p+n+1}{n+1}$.
Exercice 2336. Soit $p \in \N^*$, montrer que $\Sum_{k=0}^{p}\binom{n}{k}\binom{n-k}{p-k} = 2^p \binom{n}{p}$.
Exercice 2337. \\
  1. Etudier la fonction $f : x \mapsto (1+x)^n$ puis calculer $\Sum_{k=1}^{n}k \binom{n}{k}$ et $\Sum_{k=1}^{n}k^2 \binom{n}{k}$. \\
  2. Montrer l'identité : $\forall n \geqslant 2$, $k \displaystyle \binom{n}{k} = n \displaystyle \binom{n-1}{k-1}$. \\ En déduire une nouvelle façon de calculer $\Sum_{k=0}^{n}k^2\binom{n}{k}$.
Exercice 2338. \\
  1. Calculer les sommes $\Sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}$ et $\Sum_{k=0}^{n}(-1)^k \binom{n}{k}$. \\
  2. En déduire les sommes suivantes $\Sum_{\substack{0 \leqslant k \leqslant n \\ k \; pair}} \binom{n}{k}$ et $\Sum_{\substack{0 \leqslant k \leqslant n \\ k \; impair}} \binom{n}{k}$