Sommes

Exercice 2317. Calculer pour tout $n \in \N^*$ les somme : \\
  1. $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\Frac{1}{k(k+1)}$. \\
  2. $\displaystyle \sum_{k=0}^{n} \Frac{1}{(k+1)(k+2)}$. \\
  3. $\displaystyle \sum_{k=0}^{n} k k!$. \\
  4. $\Sum_{k=0}^{n} \Frac{k}{(k+1)!}$. \\
  5. $\Sum_{k=0}^{n}\Frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}$. \\
  6. $\Sum_{k=0}^{2n}(-1)^k k$.
Exercice 2318. Etablir $\forall x \in \R \backslash \{1\}, \; \Sum_{k=1}^{n}kx^{k-1} = \Frac{nx^{n+1}-(n+1)x^n+1}{(1-x)^2}$.
Exercice 2319. Montrer que pour tout $n \in \N^*$, $\Sum_{k=1}^{n} (-1)^kk = \Frac{(-1)^n(2n+1)-1}{4}$.
Exercice 2320. Calculer $S = \displaystyle \sum_{k=1}^{n}k2^k$ en posant $i = k-1$.
Exercice 2321. Soit $(v_n)$ une suite telle que pour tout $n \in \N$, $u_{n+1} \leqslant u_n + \Frac{1}{3^n}$. \\ Montrer que $\un$ est majorée.

Exercice 2322. Inégalité de Cauchy-Schwarz

\\ Montrer que pour tous réels $a_1,\hdots,a_n,b_1,\hdots,b_n$ \[ \parenthese{\Sum_{k=1}^{n} a_kb_k}^2 \leqslant \parenthese{\Sum_{k=1}^{n} a_k^2}\parenthese{\Sum_{k=1}^{n} b_k^2} \] On pourra considérer la fonction $f(x) = \Sum_{k=1}^{n} (a_k x + b_k)^2$.
Exercice 2323. Montrer que pour tout $n \in \N^*$, $\Sum_{k=1}^{n} \sqrt{k} \leqslant n \sqrt{\Frac{n+1}{2}}$.
Exercice 2324. Montrer que pour tout $x \in \R$ tel que $\sin\parenthese{\Frac{x}{2}} \neq 0$, $\Sum_{k=0}^{n} \cos{kx} = \Frac{\sin\parenthese{\Frac{2n+1}{2}x}}{2\sin\parenthese{\Frac{x}{2}}} + \Frac{1}{2}$.
Exercice 2325. Soit $a_1,\hdots,a_n$ $n$ réels avec $n \geqslant 2$. \\ Montrer que $\abs{\Sum_{k=1}^{n} a_k} = \Sum_{k=1}^{n} \abs{a_k}$ si et seulement si $a_1,\hdots,a_n$ sont de même signe.
Exercice 2326. \\
  1. Soit $x,y,z$ trois réels. \\ Etablir $xy + xz+yz \leqslant x^2+y^2+z^2$ et préciser le cas d'égalité. \\
  2. Montrer que pour toute suite $(x_n)_{n \in \N^*}$ réelle, pour tout $n \geqslant 2$, $-\Sum_{k=1}^{n} x_k^2 \leqslant \Sum_{k=1}^{n-1} x_kx_{k+1} \leqslant \Sum_{k=1}^{n} x_k^2$.
Exercice 2327. \\
  1. Montrer que pour tout $n \in \N^*$, $\Sum_{k=1}^{2n+1} \Frac{1}{k^2} = \Sum_{p=0}^{n} \Frac{1}{(2p+1)^2} + \Frac{1}{4} \Sum_{p=1}^{n} \Frac{1}{p^2}$. \\
  2. Montrer que pour tout $n \in \N^*$, $\Sum_{k=1}^{2n+1} \Frac{(-1)^{k-1}}{k^2} = \Sum_{p=1}^{n} \Frac{1}{(2p+1)^2} - \Frac{1}{4}\Sum_{p=1}^{n} \Frac{1}{p^2} = \Sum_{k=1}^{2n+1} \Frac{1}{k^2} - \Frac{1}{2}\Sum_{p=1}^{n} \Frac{1}{p^2}$. \\
  3. Montrer que pour tout $n \in \N^*$, $\Sum_{k=1}^{n}\parenthese{\Frac{1}{k}-\Frac{1}{k+\frac{1}{2}}} = 2-2\Sum_{k=n+1}^{2n+1} \Frac{1}{k} = 2-\Frac{2}{2n+1}-\Frac{1}{n}\Sum_{k=1}^{n} \Frac{2}{1+\frac{k}{n}}$.
Exercice 2328. Soit $n \in \N$ et on pose pour tout $x \in \R$, $P_n(x) = \Sum_{k=0}^{n} \Frac{x^k}{k!}$. \\
  1. Montrer que pour tout $n \in \N$, $\forall x \in \R_+$, $P_n(x) \leqslant e^x$. \\
  2. Montrer que pour tout $n \in \N$, $\forall x \in \R_{-}$, $P_{2n+1}(x) \leqslant e^x \leqslant P_{2n}(x)$.